Απλή εκδοχή του Δ4

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15164
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Απλή εκδοχή του Δ4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιουν 11, 2024 10:22 am

Απλή  εκδοχή του  Δ4.png
Απλή εκδοχή του Δ4.png (16.39 KiB) Προβλήθηκε 344 φορές
Γράφω το θέμα στον φάκελο αυτό , όχι για τη δυσκολία του , αλλά για την πιθανότητα να υπάρξει

μια αντιμετώπιση ευκόλως κατανοητή από όλους .

Για την συνάρτηση : f(x)=\dfrac{1}{4}(x^3-x^2+4) .

α) Δείξτε ότι η συνάρτηση έχει μοναδική ρίζα στο (-2 , -1) .

β) Υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου που δημιουργείται από την γραφική παράσταση της f ,

τον άξονα x'x και τις ευθείες : x=-2 και : x=0 .



Λέξεις Κλειδιά:
Nikitas K.
Δημοσιεύσεις: 46
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 06, 2023 6:01 pm
Τοποθεσία: Ρόδος
Επικοινωνία:

Re: Απλή εκδοχή του Δ4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nikitas K. » Τρί Ιουν 11, 2024 6:23 pm

α)
Έστω x_1,x_2\in\left(-\infty,0\right] με x_1<x_2, προκύπτει ότι:

x_1^3<x_2^3,
x_1^2>x_2^2\Leftrightarrow -x_1^2<-x_2^2
Με πρόσθεση κατά μέλη, συνεπάγεται ότι:
x_1^3-x_1^2 < x_2^3 -x_2^3\Leftrightarrow x_1^3-x_1^2 + 4< x_2^3 -x_2^3 + 4
\Leftrightarrow \frac{1}{4}(x_1^3-x_1^2 + 4)< \frac{1}{4}(x_2^3 -x_2^3 + 4)\Leftrightarrow f(x_1)<f(x_2)

Συνεπώς, η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα \left(-\infty,0\right], επομένως είναι ένα προς ένα στο ίδιο διάστημα.
Η συνάρτηση είναι συνεχής, εφόσον είναι πολυωνυμική.
Έχουμε ότι:
f(-2) = \frac{1}{4} ((-2)^3 - (-2)^2 + 4) = \frac{1}{4} \cdot (-8)=-2 και
f(-1) = \frac{1}{4} ((-1)^3-(-1)^2+4)=\frac{1}{4}\cdot 2 = \frac{1}{2}
Άρα f(-2)f(-1) < 0, από το θεώρημα του Bolzano συνεπάγεται ότι
\exists x_0\in\left(-2,-1\right)~f(x_0) = 0, όπου το x_0 στην προκειμένη είναι μοναδικό στο μη θετικό διάστημα, λόγω ότι η συνάρτηση f είναι ένα προς ένα στο διάστημα αυτό.

β)
Επειδή, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο μη θετικό διάστημα, ισχύει ότι:
\forall x\in\left(-\infty,x_0\right)~f(x)<0 και
\forall x\in\left(x_0,0\right]~f(x)>0

\int_{-2}^{0} \left|f(x) \right |\,dx =\int_{-2}^{x_0} \left|f(x) \right |\,dx + \int_{x_0}^{0} \left|f(x) \right |\,dx
=\int_{-2}^{x_0} -f(x)\,dx + \int_{x_0}^{0} f(x) \,dx
=\int_{-2}^{x_0} -\frac{1}{4}(x^3-x^2+4)\,dx + \int_{x_0}^{0} \frac{1}{4}(x^3-x^2+4) \,dx
=\left[-\frac{1}{4} (\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+4x)\right]_{-2} ^{x_0}+\left[\frac{1}{4} (\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+4x)\right]_{x_0} ^{0}

A = -\frac{1}{4} (\frac{x_0^4}{4}-\frac{x_0^3}{3}+4x_0) - [-\frac{1}{4} \left(\frac{(-2)^4}{4}-\frac{(-2)^3}{3}+4(-2)\right)]
= -\frac{1}{4} (\frac{x_0^4}{4}-\frac{x_0^3}{3}+4x_0) + \frac{1}{4} (4+\frac{8}{3}-8)
=-\frac{1}{4} (\frac{x_0^4}{4}-\frac{x_0^3}{3}+4x_0) + \frac{1}{4} (-4+\frac{8}{3})
=-\frac{1}{4} (\frac{x_0^4}{4}-\frac{x_0^3}{3}+4x_0)-1+\frac{2}{3}
= -\frac{1}{4} (\frac{x_0^4}{4}-\frac{x_0^3}{3}+4x_0)-\frac{1}{3}

B=\frac{1}{4} (\frac{0^4}{4}-\frac{0^3}{3}+4\cdot0)-\frac{1}{4} (\frac{x_0^4}{4}-\frac{x_0^3}{3}+4x_0)
=-\frac{1}{4} (\frac{x_0^4}{4}-\frac{x_0^3}{3}+4x_0)

Χρησιμοποιώντας ότι x_0^3 =x_0^2 - 4 και x_0^4 = x_0^3 - 4x_0 από το γεγονός f(x_0)=0 προκύπτει ότι:
\int_{-2}^{0} \left|f(x) \right |\,dx = A+B = (\frac{1}{24}x_0^2-\frac 3 2 x_0-\frac 1 2) τετραγωνικές μονάδες μήκους.


Νικήτας Κακούλλης
«Μέτρον ἄριστον» Κλεόβουλος Εὐαγόρου Λίνδιος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες