Τα σχολικά μαθηματικά εισάγουν την εκθετική συνάρτηση
στο πέμπτο κεφάλαιο του σχολικού βιβλίου της Β Λυκείου. Η εκθετική συνάρτηση με βάση το
είναι μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής (και μάλιστα η μοναδική) που έχει τις εξής ιδιότητες (γράφουμε τις απαραίτητες, οι υπόλοιπες γνωστές και καταγεγραμμένες στο σχολικό βιβλίο έπονται):
γνησίως αύξουσα αν και μόνο αν 
γνησίως φθίνουσα αν και μόνο αν 
ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ
Λαμβάνοντας υπ' όψιν τις άνωθι παρατιθέμενες ιδιότητες και χρησιμοποιώντας αποκλειστικά και μόνο σχολικά μαθηματικά, να αποδειχθεί ότι η εκθετική συνάρτηση με βάση το
είναι μια συνεχής συνάρτηση.ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Προσοχή να μη χρησιμοποιηθούν εκ παραδρομής αποτελέσματα που αφορούν την εκθετική συνάρτηση τα οποία προκύπτουν με παραγώγους.
μπορεί να βρεθεί στον απειροστικό λογισμό των Νεγρεπόντη - Γιωτόπουλου - Γιαννακούλια , τόμος 1 σελ. 47 , πρόταση 4.14 (iii). Είναι σχολικής εμβέλειας και χρησιμοποιεί την ανισότητα Bernoulli και το κριτήριο παρεμβολής. 
, πρέπει να δείξουμε ότι 
. Θέτουμε 
και έχουμε ![\begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\mathop = \limits_{y \to 0}^{y = x - {x_0}} \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} f\left( {{x_0} + y} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ {f\left( {{x_0}} \right)f\left( y \right)} \right] = \hfill \\
= f\left( {{x_0}} \right)\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} f\left( y \right) = f\left( {{x_0}} \right)f\left( 0 \right) = f\left( {{x_0}} \right) \hfill \\
\end{gathered}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ed3d676a5ee2c2e674a2b2ef7ad2f5e5.png "\begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\mathop = \limits_{y \to 0}^{y = x - {x_0}} \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} f\left( {{x_0} + y} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ {f\left( {{x_0}} \right)f\left( y \right)} \right] = \hfill \\
= f\left( {{x_0}} \right)\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} f\left( y \right) = f\left( {{x_0}} \right)f\left( 0 \right) = f\left( {{x_0}} \right) \hfill \\
\end{gathered}")
εν προκειμένω) είναι το πρωτεύον ζητούμενο του παρόντος νήματος.
κατόπιν διευθετεί την απόδειξη της συνέχειας της περίπτωσης 
(με τεχνική άμεσα γενικεύσιμη για 
).
για 
το 
βρίσκουμε
για 
μπορεί κανείς να δει το ποστ #2 του παρόντος νήματος 
για κάθε 
, από την οποία μπορούμε να οδηγηθούμε στο 
.