Συναρτησιακή 1

Συντονιστής: emouroukos

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Συναρτησιακή 1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Ιουν 15, 2010 6:04 pm

Δεν είμαι σίγουρος για το αν κάνω κατάλληλη επιλογή φακέλλου, αλλά οι μέχρι τώρα προσπάθειες μου δεν έδωσαν αποτέλεσμα, οπότε δεν ξέρω αν τα εργαλεία που χρειάζονται για τη λύση της είναι αυτά που απαιτεί τούτος ο φάκελλος. Την μοιράζομαι μαζί σας :
Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, για τις οποίες υπάρχει συνάρτηση g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, 1-1, ώστε f(g(x+y))=g(f(x)+f(y)), \forall x,y \in \mathbb{R}
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1403
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή 1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Πέμ Ιουν 17, 2010 1:01 am

Θέτω x = y = 0 και παίρνω: f(g(0)) = g(2f(0)), (1).
Θέτω y = -x και παίρνω: f(g(0)) = g(f(x) + f(-x)), (2).
Από (1) και (2) προκύπτει g(2f(0)) = g(f(x) + f(-x)) για κάθε πραγματικό x.
Όμως η g είναι 1-1. Άρα 2f(0) = f(x) + f(-x) για κάθε πραγματικό x, (3).
Από την (3) προκύπτει ότι όλες οι σταθερές συναρτήσεις και όλες οι συνεχείς και περιττές συναρτήσεις είναι λύσεις της συναρτησιακής μας εξίσωσης.
Ισχυρίζομαι ότι δεν υπάρχουν άλλες συναρτήσεις που είναι λύσεις της δεδομένης εξίσωσης.
Ες αύριον τα σπουδαία.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή 1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Ιουν 17, 2010 1:13 am

Φίλε Σπύρο συμφωνώ με τον Ανδρέα ,αλλά γιατί οδηγήσαι κατασκευαστικά να δώσεις την συνέχεια;
Τα παραπάνω συμπεράσματα θα έβγαιναν καί αν δεν ζητούσες συνέχεια αλλά και γιά τυχούσα g 1-1.Τελικά μήπως παίζει κάποιο ρόλο η διατήρηση του προσήμου σε ανοικτά διαστήματα με στοιχεία μή ρίζες της συνάρτησης; Θα δούμε....

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Συναρτησιακή 1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Πέμ Ιουν 17, 2010 1:43 am

Θέτω x = y = 1 και παίρνω: f(g(2)) = g(2f(1)), (1).
Θέτω y = -x+2 και παίρνω: f(g(2)) = g(f(x) + f(2-x)), (2).
Από (1) και (2) προκύπτει g(2f(1)) = g(f(x) + f(2-x)) για κάθε πραγματικό x.
Όμως η g είναι 1-1. Άρα 2f(1) = f(x) + f(2-x) για κάθε πραγματικό x.

Επίσης ...

Θέτω x = y = 2 και παίρνω: f(g(4)) = g(2f(2)), (1).
Θέτω y = -x+4 και παίρνω: f(g(4)) = g(f(x) + f(4-x)), (2).
Από (1) και (2) προκύπτει g(2f(2)) = g(f(x) + f(4-x)) για κάθε πραγματικό x.
Όμως η g είναι 1-1. Άρα 2f(2) = f(x) + f(4-x) για κάθε πραγματικό x.

κ.λ.π.

Η λύση είναι αρκετά βαθειά κρυμένη .... πανέμορφο θέμα ...


Σεραφείμ Τσιπέλης
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συναρτησιακή 1

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Πέμ Ιουν 17, 2010 7:25 am

Ανδρέας Πούλος έγραψε:...
Από την (3) προκύπτει ότι όλες οι σταθερές συναρτήσεις και όλες οι συνεχείς και περιττές συναρτήσεις είναι λύσεις της συναρτησιακής μας εξίσωσης.
Ισχυρίζομαι ότι δεν υπάρχουν άλλες συναρτήσεις που είναι λύσεις της δεδομένης εξίσωσης.
Ες αύριον τα σπουδαία.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος
Δηλαδή Ανδρέα ισχυρίζεσαι ότι η f(x)=sinx είναι λύση του προβλήματος; Δεν νομίζω
Φίλε Σωτήρη, η συνέχεια χρειάζεται οπωσδήποτε (στη λύση που έχω υπόψη μου εγώ-Δεν την καταθέτω, γιατί έχουν άλλοι προτεραιότητα) Να κάνω και μία διευκρίνηση: Η άσκηση δεν είναι δικής μου επινόησης. Νομίζω πως είναι από έναν πολύ παλαιό Ρουμάνικο Διαγωνισμό. Όπως τη βρήκα έτσι και τη δημοσίευσα. Μέχρι χθες με παίδευσε και εμένα πολύ η λύση της. Αλλά για να καταλάβουμε τη χρήση της συνέχειας, ας πάρουμε μία μερική περίπτωσή της: Αν είχαμε στην υπόθεση επιπλέον f(0)=0, τότε η δοθείσα για y=0, δίνει
g(f(x))=f(g(x)), \forall x\in \mathbb{R} \Rightarrow g(f(x+y))=f(g(x+y))=g(f(x)+f(y)), \forall x,y \in \mathbb{R} \Rightarrow (1-1) f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}, άρα επειδή είναι συνεχής (Cauchy) f(x)=ax
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Συναρτησιακή 1

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Ιουν 17, 2010 10:12 am

Εδω δινω τη λυση που βρηκα.

Εστω x + y = 2u. Τοτε εχουμε f[g(x+y)] = f[g(2u)], δηλαδη g[f(x) + f(y)] = g[2 f(u)] και f(x) + f(y) = 2f(u) απο το 1-1 της g.

Δηλαδη, για οποιαδηποτε δυο σημεια του γραφηματος της f, ισχυει οτι το μεσο του ευθυγραμμου τμηματος που οριζουν ειναι επισης σημειο του γραφηματος.

Με επαγωγη βλεπουμε οτι, για καθε δυο σημεια x,y, οι τιμες των σημειων rx + (1-r)y, οπου r ρητος με τερματιζομενο δυαδικο αναπτυγμα ανηκουν στην ευθεια που οριζεται απο τα (x,f(x)), \ (y, f(y)).

Ομως το συνολο των 'δυαδικα τερματιζομενων' ρητων ειναι πυκνο στο \mathbb{R}. Ετσι, αφου η f ειναι συνεχης, θα ειναι και γραμμικη.

Αντιστροφα, καθε γραμμικη (η σταθερη) f ειναι λυση. Η g(x) = x/2 ικανοποιει ολες τις γραμμικες και σταθερες f.

Δημητρης Σκουτερης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή 1

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Ιουν 17, 2010 10:15 am

Ακριβώς φίλε Σπύρο ήμουν σίγουρος ότι άσκηση πού προτείνεις εσύ σίγουρα θά έχει τουλάχιστον ένα μαθηματικό σημείο που πρέπει να προσέξει ιδιαίτερα ο λύτης, ήμουν σίγουρος γιά τον ρόλο της 'κατάστασης' Συνεχής (Τεράστια Μαθηματική έννοια με προεκτάσεις ασύλληπτες).Τί σημασία έχει ποιού είναι η άσκηση; Γιά μένα ο φίλος Σπύρος είναι από τις αξίες που Αντανακλώνται.

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συναρτησιακή 1

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Πέμ Ιουν 17, 2010 12:17 pm

Δημήτρη απλώς :clap2: :clap2: :clap2: :clap2: :clap2: :clap2: :clap2: :clap2:
Σωτήρη σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1403
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή 1

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Πέμ Ιουν 17, 2010 9:29 pm

Σπύρο,
έχεις δίκαιο για την επιπόλαιη απάντησή μου. Το "όλες οι περιττές συναρτήσεις" ήταν άμεσα καταρρίψιμο.
Για την παρατήρηση του Δημήτρη, έχω να δώσω εκτός από την g(x) = x/2 και τη λύση f(x) = ax με α = 0 ή α όχι 0 και g(x) = x.
Αν και το ζητούμενο είναι μόνο η συνάρτηση f και όχι η g.
Το θέμα πάντως, έχει ενδιαφέρον για επιπλέον γενικεύσεις.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή 1

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Αύγ 27, 2014 11:50 pm

s.kap έγραψε:Δεν είμαι σίγουρος για το αν κάνω κατάλληλη επιλογή φακέλλου, αλλά οι μέχρι τώρα προσπάθειες μου δεν έδωσαν αποτέλεσμα, οπότε δεν ξέρω αν τα εργαλεία που χρειάζονται για τη λύση της είναι αυτά που απαιτεί τούτος ο φάκελλος. Την μοιράζομαι μαζί σας :
Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, για τις οποίες υπάρχει συνάρτηση g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, 1-1, ώστε f(g(x+y))=g(f(x)+f(y)), \forall x,y \in \mathbb{R}
Φιλικά

Για y=0 είναι f(g(x))=g(f(x)+f(0)), οπότε f(g(x+y))=g(f(x+y)+f(0))

Από την αρχική g(f(x+y)+f(0))=g(f(x)+f(y)) και, αφού η g είναι 1-1, f(x+y)+f(0)=f(x)+f(y)

οπότε f(x)=ax+b, \ \forall x \in \mathbb{R}, που είναι πάντα λύση αρκεί να επιλέξουμε π.χ. g(x)=\frac{x}{2}.


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης