το γνωστο ( ?? ) οριο sinx/x .....

Συντονιστής: emouroukos

Linardatos
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Τρί Σεπ 14, 2010 2:23 pm

το γνωστο ( ?? ) οριο sinx/x .....

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Linardatos » Τρί Σεπ 14, 2010 3:13 pm

Καλησπερα, δεν ξερω αν εχει ηδη γραφτει κατι παρομοιο αλλα θα ηθελα να συζητησουμε για την παραγωγο sinx οταν ομως το x μετριεται σε μοιρες. το συναντησα σε ενα ενδαφερον θεμα που βρηκα στον τομο Α του κ. Παπακωνσταντινου, ο οποιος εχει παραθεσει αποσπασματα απο βιβλια του εξωτερικου
συγκεκριμενα σε σχολικο βιβλιο στην Ιταλια διδασκεται
οτι

lim(sinx/x) ομως με το x να τεινει στις 0 μοιρες ειναι ισο με π/180 και οχι με 1. που ειναι και σωστο βεβαια, και ολο αυτο οφειλεται στην παραγωγο. στην Ελλαδα δεν το ψαχνουμε τοσο πολυ ε????


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11537
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: το γνωστο ( ?? ) οριο sinx/x .....

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Σεπ 14, 2010 3:53 pm

Καλώς ήλθες στην Λέσχη μας.

Το θέμα το έχουμε συζητήσει στο φόρουμ, και το έχει το Φ (νομίζω στο τεύχος 5) σε ένα σχετικό αρθράκι μου με κάποιες ερωτήσεις κρίσης (παρμένες από βιβλίο μου) μεταξύ των άλλων και το εν λόγω θέμα.

Ας γράψω κάπως αναλυτικά, για ώφελος αυτών που δεν γνωρίζουν πλήρως το θέμα:

Η ουσία είναι ότι όταν, σε ακτίνια, δείχνουμε την διπλή ανισότητα cos x < \frac{sin x}{x} < 1 (*) που χρειάζεται στην εύρεση του ορίου lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin x}{x} < 1, κάνουμε μία σύγκριση εμβαδών στον τριγωνομετρικό κύκλο. Το ένα από τα εμβαδά είναι κυκλικός τομέας, οπότε το εμβαδόν του είναι \frac{1}{2}.1^2.x. Σε αυτό ακριβώς το σημείο της απόδειξης γίνεται χρήση ακτινίων.

Αν εργαζόμασταν σε μοίρες, το αντίστοιχο εμβαδόν θα το γράφαμε \frac{\pi x}{360}\, οπότε η αντίστοιχη της (*) γίνεται \frac{\pi}{180} cos x < \frac{sin x}{x} < \frac{\pi}{180}. Άρα και το ζητούμενο όριο, σε μοίρες, είναι π/180.

Κλείνοντας, προσθέτω ότι λόγω του ορίου της sinx/x (σε ακτίνια ή, αντίστοιχα, σε μοίρες) προσδιορίζουμε την παράγωγο του sinx στο 0 (και από εκεί, σε όλα τα θ). Η απάντηση είναι, ως γνωστόν, 1 για την περίπτωση των ακτινίων και π/180 στις μοίρες.

Αυτό το θέμα είναι κάτι που πάντα θίγω σε πρωτοετείς φοιτητές, για να το ξεκαθαρίσω.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Linardatos
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Τρί Σεπ 14, 2010 2:23 pm

Re: το γνωστο ( ?? ) οριο sinx/x .....

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Linardatos » Τρί Σεπ 14, 2010 4:02 pm

ναι σωστα.... δεν ειναι πολυ δυσκολο μπορω να πω.

αλλα ειναι ενα καλο θεμα για να τιμωρησει οποιον απαντησει γρηγορα...
..

καλως σας βρηκα..

<Γ/Λ>


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης