Κι ακόμα ένας γ. τόπος

#1

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου $\displaystyle{AB=4}$ και στην προέκταση της διαμέτρου, προς
την πλευρά του σημείου $\displaystyle{B}$ , το σημείο $\displaystyle{S}$ , έτσι ώστε: $\displaystyle{BS=2}$ .
Τυχαίο σημείο $\displaystyle{M}$ κινείται πάνω στο ημικύκλιο ενώ ταυτόχρονα στο τρίγωνο $\displaystyle{(SMN)}$
ισχύει:

$\displaystyle{(SM)(SN)=16}$

και

$\displaystyle{\widehat{MSN}=30^o}$ .

Να βρεθεί ο γ. τόπος του σημείου $\displaystyle{N}$ .

: Κι ακόμα ένας γ. τόπος.png (14.97 KiB) Προβλήθηκε 1058 φορές

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επειδή στο
viewtopic.php?f=62&t=67873

ο Γιώργος ,εγώ ,και ο Σωτήρης το ξεφτιλίσαμε
(παραβίαση κανονισμών κλπ)
καλό να αναρτηθεί πλήρης λύση, και μετά να κάνουμε σχόλια.

S.E.Louridas · #3

ΑΝΑΛΥΣΗ:

Ονομάζουμε στο σχήμα του Κώστα

το ημικύκλιο διαμέτρου AB.

Θεωρούμε

την προβολή του

στην ημιευθεία SM.

Παρατηρούμε ότι $SM \cdot ST = SM \cdot SN\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 8\sqrt 3 ,\;ct.\;\,\left( 1 \right).$ Ταυτόχρονα παρατηρούμε ότι το ορθογώνιο τρίγωνο SNT

παραμένει όμοιο προς ορθογώνιο τρίγωνο με μία οξεία γωνία του ίση με ${30^ \circ }.$ Το σημείο

κινείται στην αντίστροφη περιφέρεια

της σταθερής

, αφού ο πόλος αντιστροφής δεν είναι σημείο της

με σταθερό «λόγο» αντιστροφής, άρα η

είναι σταθερή περιφέρεια και μάλιστα κατασκευάσιμη (από γνωστή θεωρία). Αν

το κέντρο της

και

η ακτίνα της, τότε, θεωρούμε το τρίγωνο SKF

, ομορρόπως όμοιο προς το τρίγωνο STN,

που είναι σταθερό τρίγωνο.
Από την ομοιότητα των τριγώνων NTS, FKS

προκύπτει η ομοιότητα των τριγώνων NFS, TKS,

αφού $\displaystyle{\vartriangle NFT \sim \vartriangle FKS \Rightarrow \ {\angle NSF + \angle FST = \angle TSK + \angle FST \Rightarrow}$ $\diplaystyle{ (\angle NSF = \angle TSK}$ και $\displaystyle{\frac{{NS}}{{ST}} = \frac{{FS}}{{KS}}} \right)).}$
Τότε έχουμε: $\displaystyle{\frac{{FN}}{{SF}} = \frac{R}{{KS}} \Rightarrow FN = R\frac{{SF}}{{KS}},\;ct.}$ Το σημείο

λοιπόν θα είναι σημείο του σταθερού κύκλου (F,FN)

.

: Δ.png (29.68 KiB) Προβλήθηκε 1026 φορές

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

KDORTSI έγραψε: Παρ Σεπ 11, 2020 10:59 pm Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου $\displaystyle{AB=4}$ και στην προέκταση της διαμέτρου, προς
την πλευρά του σημείου $\displaystyle{B}$ , το σημείο $\displaystyle{S}$ , έτσι ώστε: $\displaystyle{BS=2}$ .
Τυχαίο σημείο $\displaystyle{M}$ κινείται πάνω στο ημικύκλιο ενώ ταυτόχρονα στο τρίγωνο $\displaystyle{(SMN)}$
ισχύει:

$\displaystyle{(SM)(SN)=16}$

και

$\displaystyle{\widehat{MSN}=30^o}$ .

Να βρεθεί ο γ. τόπος του σημείου $\displaystyle{N}$ .

Κι ακόμα ένας γ. τόπος.png

Για να το δούμε με μιγαδικούς.
Εστω

το συμμετρικό του

ως προς το

.

Εστω ότι το

είναι το

του μιγαδικού επιπέδου και από τα A,B

περνάει ο πραγματικός άξονας.

Αν

είναι το

,

το

και

το

τότε έχουμε

$\displaystyle (4-z)(w'-4)=16$

$\displaystyle w=4+e^{i\frac{5\pi }{6}}\frac{16}{4-z}$

Αλλά είναι $z=2e^{it},t\in [0,\pi ]$

Εύκολα βλέπουμε (τύποι) ότι το

βρίσκεται σε μέρος κύκλου.
Βρίσκουμε τον κύκλο και μετά από τα ακραία σημεία του πιο μέρος του είναι.

Με την ίδια τεχνική μπορεί να βρεθεί ο γ.τ του
https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=62&t=67873

S.E.Louridas · #5

Αν μου επιτρέπει ο εισηγητής Κώστας Δόρτσιος, και λόγω του φακέλου που τοποθετήθηκε το θέμα, θα μπορούσαμε να έχουμε και την γενίκευση που ακολουθεί:

«Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου

και στην προέκταση της διαμέτρου, προς την πλευρά του σημείου

σημείο

Δίνονται επίσης ευθύγραμμο τμήμα, και έστω

το μέτρο του, και γωνία $\varphi.$
Τυχόν σημείο

κινείται πάνω στο ημικύκλιο ενώ ταυτόχρονα στο τρίγωνο SMN

ισχύουν: 1) $\angle NSM = \varphi$ και 2) $SM \cdot SN = {k^2}$ .
Να βρεθεί ο γ. τόπος του σημείου

»

: dorcio.png (14.59 KiB) Προβλήθηκε 906 φορές

#6

KDORTSI έγραψε: Παρ Σεπ 11, 2020 10:59 pm Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου $\displaystyle{AB=4}$ και στην προέκταση της διαμέτρου, προς
την πλευρά του σημείου $\displaystyle{B}$ , το σημείο $\displaystyle{S}$ , έτσι ώστε: $\displaystyle{BS=2}$ .
Τυχαίο σημείο $\displaystyle{M}$ κινείται πάνω στο ημικύκλιο ενώ ταυτόχρονα στο τρίγωνο $\displaystyle{(SMN)}$
ισχύει:

$\displaystyle{(SM)(SN)=16}$

και

$\displaystyle{\widehat{MSN}=30^o}$ .

Να βρεθεί ο γ. τόπος του σημείου $\displaystyle{N}$ .

S.E.Louridas έγραψε: Κυρ Σεπ 13, 2020 8:22 pm Αν μου επιτρέπει ο εισηγητής Κώστας Δόρτσιος, και λόγω του φακέλου που τοποθετήθηκε το θέμα, θα μπορούσαμε να έχουμε και την γενίκευση που ακολουθεί:

«Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου και στην προέκταση της διαμέτρου, προς την πλευρά του σημείου σημείο Δίνονται επίσης ευθύγραμμο τμήμα, και έστω το μέτρο του, και γωνία $\varphi.$
Τυχόν σημείο κινείται πάνω στο ημικύκλιο ενώ ταυτόχρονα στο τρίγωνο ισχύουν: 1) $\angle NSM = \varphi$ και 2) $SM \cdot SN = {k^2}$ .
Να βρεθεί ο γ. τόπος του σημείου »

Καλησπέρα...

Σωτήρη έχεις δίκιο. Μπορούν αυτές οι προτάσεις να γενικευτούν ή ακόμα να προσαρμοστούν δίπλα σε άλλες κατασκευαστικές
προτάσεις. Εξάλλου οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί είναι κορυφαίο θέμα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

Αναρτώ και τη δικιά μου ιδέα...

Σχήμα 1ο

: Ασκηση αντιστροφής β1.png (33.07 KiB) Προβλήθηκε 848 φορές

Στο σχήμα αυτό βλέπουμε την εικόνα $\displaystyle{M'}$ του σημείου $\displaystyle{M}$ μέσω της αντιστροφής που ορίζει ο
κύκλος $\displaystyle{C(S,4)}$ και ασφαλώς το σημείο αυτό ανήκει στην εικόνα του ημικυκλίου η οποία είναι
το ημικύκλιο $\displaystyle{C'}$ . Έτσι είναι:

$\displaystyle{(SM)(SM')=16 \ \ (1)}$

Σχήμα 2ο

: Ασκηση αντιστροφής β2.png (43.61 KiB) Προβλήθηκε 848 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται η στροφή με κέντρο το σημείο $\displaystyle{S}$ κατά γωνία ίση με $\displaystyle{30^o}$ και αρνητικής φοράς.
Η εικόνα του σημείου $\displaystyle{M'}$ μέσω της στροφής αυτής είναι το σημείο $\displaystyle{N}$ . Έτσι κατασκευάστηκε το τρίγωνο
$\displaystyle{(SMN)}$ με τα δοθέντα στοιχεία.

Εύκολα τώρα διαπιστώνεται ότι το σημείο $\displaystyle{N}$ θα κινείται πάνω στην εικόνα του ημικυκλίου $\displaystyle{(C')}$ μέσω της
στροφής αυτής.

Αναρτώ και το δυναμικό σχήμα με οδηγίες.

Άσκηση αντιστροφής β.ggb: (23.13 KiB) Μεταφορτώθηκε 24 φορές

Κώστας Δόρτσιος

Κι ακόμα ένας γ. τόπος

Κι ακόμα ένας γ. τόπος

Re: Κι ακόμα ένας γ. τόπος

Re: Κι ακόμα ένας γ. τόπος

Re: Κι ακόμα ένας γ. τόπος

Re: Κι ακόμα ένας γ. τόπος

Re: Κι ακόμα ένας γ. τόπος

Μέλη σε σύνδεση