Επιστροφή στη Στερεομετρία( τρίτη και ... τελευταία)

#1

Δίνεται μια ορθή γωνία $\displaystyle{xOy}$ και ένα σημείο $\displaystyle{A}$ εκτός του επιπέδου αυτής.
Να βρεθούν πάνω στις $\displaystyle{Ox}$ και $\displaystyle{Oy}$ αντίστοιχα τα σημεία $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{C}$ ,
έτσι ώστε να ισχύει:
1ο) $\displaystyle{\hat{BAC}=90^o}$
και
2ο) $\displaystyle{(BC) = min}$

S.E.Louridas · #2

KDORTSI έγραψε: Παρ Νοέμ 13, 2020 7:26 pm Δίνεται μια ορθή γωνία $\displaystyle{xOy}$ και ένα σημείο $\displaystyle{A}$ εκτός του επιπέδου αυτής.
Να βρεθούν πάνω στις $\displaystyle{Ox}$ και $\displaystyle{Oy}$ αντίστοιχα τα σημεία $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{C}$ ,
έτσι ώστε να ισχύει:
1ο) $\displaystyle{\hat{BAC}=90^o}$
και
2ο) $\displaystyle{(BC) = min}$

Ας δούμε την διαπραγμάτευση που ακολουθεί η οποία στηρίζεται σε γνώσεις από την επιπεδομετρία. Κύρια θα χρησιμοποιήσουμε την γνώση: Αν έχουμε τρία σημεία O,B,C

, τότε μία ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχουμε $\angle BOC = \frac{\pi }{2},$ είναι 2OM = BC,

αν

είναι το μέσον της BC.

Έτσι οδηγούμαστε στην εξής διαπραγμάτευση, σε αναμονή για να δοθούν σάρκα και οστά από τον Άριστο Κώστα Δόρτσιο με τις εκπληκτικές γεωμετρικές απεικονίσεις, αλλά και εκπληκτικές Μαθηματικές ιδέες και παρεμβάσεις γενικότερα...για να μην ξεχνιόμαστε:

ΑΝΑΛΥΣΗ:
Έστω (P)

το επίπεδο που βρίσκεται η γωνία $\angle xOy.$ Κατανοούμε ότι είναι ικανό να έχουμε MO = MA,

αν ως

ονομάσουμε το μέσον της προς κατασκευή BC.

Άρα το σημείο

θα το αναζητήσουμε στην τομή (e)

του μεσοκάθετου επίπεδου του ευθύγραμμου τμήματος

και του επιπέδου (P).

Τότε το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα

στην τομή αυτή μας δίνει το μέσον του ζητούμενου BC,

άρα και το ίδιο το

αρκεί στο επίπεδο (P)

να θεωρήσουμε κύκλο κέντρου

και ακτίνας

που θα τμήσει τις Ox, Oy

στα σημεία B, C

που θέλουμε. Προφανώς $\displaystyle{MO = MA = \frac{{BC}}{2} \Rightarrow \angle BOC = \angle BAC = \frac{\pi }{2}.}$
To

είναι η ελάχιστη απόσταση, λόγω καθετότητας, οπότε και το

θα είναι το ελάχιστο.

#3

KDORTSI έγραψε: Παρ Νοέμ 13, 2020 7:26 pm Δίνεται μια ορθή γωνία $\displaystyle{xOy}$ και ένα σημείο $\displaystyle{A}$ εκτός του επιπέδου αυτής.
Να βρεθούν πάνω στις $\displaystyle{Ox}$ και $\displaystyle{Oy}$ αντίστοιχα τα σημεία $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{C}$ ,
έτσι ώστε να ισχύει:
1ο) $\displaystyle{\hat{BAC}=90^o}$
και
2ο) $\displaystyle{(BC) = min}$

S.E.Louridas έγραψε: Παρ Νοέμ 13, 2020 9:06 pm
KDORTSI έγραψε: Παρ Νοέμ 13, 2020 7:26 pm Δίνεται μια ορθή γωνία $\displaystyle{xOy}$ και ένα σημείο $\displaystyle{A}$ εκτός του επιπέδου αυτής.
Να βρεθούν πάνω στις $\displaystyle{Ox}$ και $\displaystyle{Oy}$ αντίστοιχα τα σημεία $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{C}$ ,
έτσι ώστε να ισχύει:
1ο) $\displaystyle{\hat{BAC}=90^o}$
και
2ο) $\displaystyle{(BC) = min}$
Ας δούμε την διαπραγμάτευση που ακολουθεί η οποία στηρίζεται σε γνώσεις από την επιπεδομετρία. Κύρια θα χρησιμοποιήσουμε την γνώση: Αν έχουμε τρία σημεία , τότε μία ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχουμε $\angle BOC = \frac{\pi }{2},$ είναι αν είναι το μέσον της Έτσι οδηγούμαστε στην εξής διαπραγμάτευση, σε αναμονή για να δοθούν σάρκα και οστά από τον Άριστο Κώστα Δόρτσιο με τις εκπληκτικές γεωμετρικές απεικονίσεις, αλλά και εκπληκτικές Μαθηματικές ιδέες και παρεμβάσεις γενικότερα...για να μην ξεχνιόμαστε:

ΑΝΑΛΥΣΗ:
Έστω το επίπεδο που βρίσκεται η γωνία $\angle xOy.$ Κατανοούμε ότι είναι ικανό να έχουμε αν ως ονομάσουμε το μέσον της προς κατασκευή Άρα το σημείο θα το αναζητήσουμε στην τομή του μεσοκάθετου επίπεδου του ευθύγραμμου τμήματος και του επιπέδου
Τότε το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα στην τομή αυτή μας δίνει το μέσον του ζητούμενου άρα και το ίδιο το αρκεί στο επίπεδο
να θεωρήσουμε κύκλο κέντρου και ακτίνας που θα τμήσει τις στα σημεία που θέλουμε. Προφανώς $\displaystyle{MO = MA = \frac{{BC}}{2} \Rightarrow \angle BOC = \angle BAC = \frac{\pi }{2}.}$
To είναι η ελάχιστη απόσταση, λόγω καθετότητας, οπότε και το θα είναι το ελάχιστο.

Σωτήρη Καλημέρα...

Υλοποιώ σχηματικά την ιδέα σου...

Σχήμα 1ο

: Επιστροφή στη Στερεομετρία (τρίτη 1...).png (19.98 KiB) Προβλήθηκε 1021 φορές

Έστω ότι έχουν βρεθεί τα σημεία $\displaystyle{B,C}$ αντίστοιχα πάνω στις $\displaystyle{Ox, Oy}$ έτσι ώστε να είναι:

$\displaystyle{\hat{BAC}=90^o \ \ (1) }$ και $\displaystyle{(BC)=min \ \ (2)}$

Έτσι αφού τα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle{ BAC, BOC}$ έχουν κοινή υποτείνουσα την $\displaystyle{BC}$ θα είναι:

$\displaystyle{(OM)=(AM)=\frac{BC}{2} \ \ (3)}$

όπου $\displaystyle{M}$ το μέσο της υποτείνουσας $\displaystyle{BC}$ .

Από την (3) προκύπτει ότι το σημείο $\displaystyle{M}$ ισαπέχει από τα σταθερά σημεία $\displaystyle{O, A}$ και συνεπώς

ανήκει στο μεσοκάθετο επίπεδο $\displaystyle{(P_1)}$ του τμήματος $\displaystyle{OA}$ .

Έτσι το σημείο $\displaystyle{M}$ θα ανήκει στην τομή του μεσοκαθέτου αυτού επιπέδου $\displaystyle{(P_1)}$ με το επίπεδο $\displaystyle{(P)}$

η οποία θα είναι η ευθεία $\displaystyle{(e)}$ .

Σχήμα 2ο

: Επιστροφή στη Στερεομετρία (τρίτη 2...).png (19.69 KiB) Προβλήθηκε 1021 φορές

Από τη σχέση (3) είναι:

$\displaystyle{(BC)=2(OM) \ \ (4)}$

άρα για να ελαχιστοποιηθεί η $\displaystyle{(BC)}$ αρκεί να ελαχιστοποιηθεί η απόσταση $\displaystyle{(OM)}$ .

Αυτό προφανώς πετυχαίνεται όταν ην $\displaystyle{OM}$ γίνει κάθετη στην γνωστή ευθεία $\displaystyle{(e)}$

δηλαδή αν πάρει τη θέση της $\displaystyle{(OM_o)}$ .

Σχήμα 3ο

: Επιστροφή στη Στερεομετρία (τρίτη 3...).png (26.38 KiB) Προβλήθηκε 1021 φορές

Για να βρούμε τώρα την πραγματική θέση των σημείων $\displaystyle{B,C}$ , δηλαδή τη θέση του ζητούμενου τριγώνου,

κατασκευάζουμε τον κύκλο με κέντρο το σημείο $\displaystyle{M_o}$ και ακτίνα ίση με $\displaystyle{OM_o}$ , όπως φαίνεται

και στο ανωτέρω σχήμα και είναι το $\displaystyle{(A_oB_oC_o)}$ .

Διερεύνηση

Το πρόβλημα έχει πάντα λύση εκτός της περίπτωσης όπου το σημείο $\displaystyle{A}$ προβαλλόμενο επί του επιπέδου $\displaystyle{(P)}$

δίνει προβολή η οποία συμπίπτει με την κορυφή $\displaystyle{O}$ της γωνίας $\displaystyle{\hat{xOy}}$ , όπως δείχνει το ακόλουθο σχήμα:

: Επιστροφή στη Στερεομετρία (τρίτη 4...).png (12.86 KiB) Προβλήθηκε 1021 φορές

Στην περίπτωση αυτή μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι η γωνία $\displaystyle{\hat{A}}$ είναι πάντα οξεία.

Κώστας Δόρτσιος

S.E.Louridas · #4

Κώστα σε ευχαριστώ θερμά που μου έδωσες την ευκαιρία να ασχοληθώ με τέτοια όμορφα θέματα που πλέον είναι σπάνια ως προς την ανάρτηση τους αλλά που είναι ύψιστης Μαθηματικής σπουδαιότητας. Κάποτε ως νέος διδάσκων σε φοιτητές (Μαθηματικών τμημάτων και τμημάτων Πολυτεχνείου) διεπίστωσα μία δυσκολία να κατανοήσουν τις έννοιες των multiple integlas, ως επίσης έννοιες όπως των rotations ή deviations κτλ. γνωστά στον συγκεκριμένο μαθηματικό στίβο. Τότε αποφάσισα πλέον να τους διδάσκω λίγο πριν απλή θεματολογία του χώρου και πραγματικά, όσο και αν φαίνεται παράξενο, έγινε σαν ένα είδος θαύματος και η απόδοσή τους στην Ανάλυση ανέβηκε ανέλπιστα καλά. Είναι λοιπόν αυτά πολύ χρήσιμα ως προαπαιτούμενη ικανή γνώση και ας γίνεται ΙΣΩΣ προσπάθεια για την αντίθετη άποψη. Και δεν πρόκειται μόνο για το διδακτικό αλλά και για το γνωστικό αυτό καθ' εαυτό.

(*) Τώρα για την πολύ σωστή φάση της διερεύνησης στην οποία αναφέρθηκες και άριστα, είδα κατά την στιγμή της επίλυσης μου του θέματος που πρότεινες, ότι όταν το σημείο έχει ως προβολή το σημείο τότε, το μεσοκάθετο επίπεδο του δεν τέμνει το επίπεδο της γωνίας καθότι τα επίπεδα αυτά καθίστανται παράλληλα, ως κάθετα στην ίδια ευθεία, οπότε σε αυτή τη περίπτωση το θέμα δεν επιδέχεται λύση.

(**) Εν αναμονή και άλλων τέτοιων όμορφων θεμάτων, στερεομετρίας ή και σε άλλα κεφάλαια των Μαθηματικών μας.

(***)

KDORTSI έγραψε: Τετ Νοέμ 18, 2020 11:41 am
...

Το πρόβλημα έχει πάντα λύση εκτός της περίπτωσης όπου το σημείο $\displaystyle{A}$ προβαλλόμενο επί του επιπέδου $\displaystyle{(P)}$

δίνει προβολή η οποία συμπίπτει με την κορυφή $\displaystyle{O}$ της γωνίας $\displaystyle{\hat{xOy}}$ , όπως δείχνει το ακόλουθο σχήμα:

Στην περίπτωση αυτή μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι η γωνία $\displaystyle{\hat{A}}$ είναι πάντα οξεία.

Αν μου επιτρέπει ο Κώστας ας το θέσουμε το υπογραμμισμένο ακριβώς πάνω ως προτεινόμενο για λύση.

Επιστροφή στη Στερεομετρία( τρίτη και ... τελευταία)

Επιστροφή στη Στερεομετρία( τρίτη και ... τελευταία)

Re: Επιστροφή στη Στερεομετρία( τρίτη και ... τελευταία)

Re: Επιστροφή στη Στερεομετρία( τρίτη και ... τελευταία)

Re: Επιστροφή στη Στερεομετρία( τρίτη και ... τελευταία)

Μέλη σε σύνδεση