Εμβαδόν του εξαγώνου του κύκλου Conway

#1

Να δειχθεί ότι το εμβαδόν του εξαγώνου $\displaystyle{A_1A_2B_1B_2C_1C_2}$ του κύκλου

του Conway του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ , δίνεται από τον τύπο:

$\displaystyle{E(A_1A_2B_1B_2C_1C_2)=2(a^2+b^2+c^2)cos(\frac{A}{2})cos(\frac{B}{2})cos(\frac{C}{2})+4E_o \ \ (1)}$

όπου $\displaystyle{a,b,c, A,B,C}$ είναι οι πλευρές και οι αντίστοιχες γωνίες του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ και $\displaystyle{E_o}$

το εμβαδόν του τριγώνου αυτού.

Αφορμή από το σύνδεσμο: https://mathematica.gr/forum/viewtopic ... 7&t=68726

STOPJOHN · #2

KDORTSI έγραψε: Κυρ Ιαν 10, 2021 8:25 am Να δειχθεί ότι το εμβαδόν του εξαγώνου $\displaystyle{A_1A_2B_1B_2C_1C_2}$ του κύκλου

του Conway του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ , δίνεται από τον τύπο:

$\displaystyle{E(A_1A_2B_1B_2C_1C_2)=2(a^2+b^2+c^2)cos(\frac{A}{2})cos(\frac{B}{2})cos(\frac{C}{2})+4E_o \ \ (1)}$

όπου $\displaystyle{a,b,c, A,B,C}$ είναι οι πλευρές και οι αντίστοιχες γωνίες του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ και $\displaystyle{E_o}$

το εμβαδόν του τριγώνου αυτού.

Αφορμή από το σύνδεσμο: https://mathematica.gr/forum/viewtopic ... 7&t=68726

Καλημέρα Κώστα ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ

$(A_{1}A_{2}B_{1}B_{2}C_{1}C_{2})=E_{0}+(AA_{1}A_{2})+(B_{1}BB_{2})+(CC_{1}C_{2})+(CA_{2}B_{1}) -E_{0}+(AB_{2}C_{2})-E_{0}+(A_{1}BC_{1})-E_{0},(*)$

$(AA_{1}A_{2})=\dfrac{1}{2}a^{2}sinA,(CA_{2}B_{1})=\dfrac{1}{2}(a+b)sinC,$ και ομόιως ,κυκλικά τα υπόποιπα εμβαδά

Αρα $(*)\Rightarrow (A_{1}A_{2}B_{1}B_{2}C_{1}C_{2})=\dfrac{1}{2}(sinA+sinB+sinC) (a^{2}+b^{2}+c^{2})+bc.sinA+ac.sinB+ab.sinC-2E_{0}.$

Ισχύουν οι γνωστές ταυτότητες και μπορώ να τις αποδείξω

$sinA+sinB+sinC=4cos\dfrac{A}{2}.cos\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2},(1), E_{0}=2R^{2}sinA.sinB.sinC,(2), (*),(1),(2)\Rightarrow (A_{1}A_{2}B_{1}B_{2}C_{1}C_{2})= 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})cos\dfrac{A}{2}cos\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}+4E_{0}$

Εμβαδόν του εξαγώνου του κύκλου Conway

Εμβαδόν του εξαγώνου του κύκλου Conway

Re: Εμβαδόν του εξαγώνου του κύκλου Conway

Μέλη σε σύνδεση