Απίθανη ελαχιστοποίηση λόγου

KARKAR · #1

: Απίθανο ελάχιστο λόγου.png (8.52 KiB) Προβλήθηκε 400 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου AB=2r

, ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο

, ώστε :

και στην ακτίνα

σημείο

, ώστε $BQ=\dfrac{r}{3}$ . Μία τέμνουσα SPT

του τόξου , τέμνει την κάθετη

της διαμέτρου στο

, στο σημείο

. Για ποια θέση της τέμνουσας ελαχιστοποιείται ο λόγος : $\dfrac{NT}{NP}$ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 09, 2021 8:15 pm
Απίθανο ελάχιστο λόγου.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο , ώστε :

και στην ακτίνα σημείο , ώστε $BQ=\dfrac{r}{3}$ . Μία τέμνουσα του τόξου , τέμνει την κάθετη

της διαμέτρου στο , στο σημείο . Για ποια θέση της τέμνουσας ελαχιστοποιείται ο λόγος : $\dfrac{NT}{NP}$ ;

$\boxed{SP \cdot ST = 3{r^2}}$ (1)

Θέτω $\displaystyle \cos \theta = x,$ άρα $\boxed{SN = \frac{{4r}}{{3x}}}$ (2)

: Απιθ. ελαχ. λόγου.png (14.23 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές

Εφαρμόζω νόμο συνημιτόνου στα τρίγωνα OPS, OTS

και έχω:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 3{r^2} + S{P^2} - 4rx \cdot SP = 0\\ \\ 3{r^2} + S{T^2} - 4rx \cdot ST = 0 \end{array} \right. \Rightarrow SP + ST = 4rx$ και από την (1)

οι

είναι ρίζες της εξίσωσης:

$\displaystyle {t^2} - 4rx + 3{r^2} = 0 \Leftrightarrow SP = r\left( {2x - \sqrt {4{x^2} - 3} } \right)$ και $\displaystyle ST = r\left( {2x + \sqrt {4{x^2} - 3} } \right)$

$\displaystyle \frac{{NT}}{{NP}} = \frac{{ST - SN}}{{SN - SP}} = \frac{{r\left( {2x + \sqrt {4{x^2} - 3} } \right) - SN}}{{SN - r\left( {2x - \sqrt {4{x^2} - 3} } \right)}}\mathop \Rightarrow \limits^{(2)}$ $\boxed{\frac{{NT}}{{NP}} = \frac{{6{x^2} + 3x\sqrt {4{x^2} - 3} - 4}}{{ - 6{x^2} + 3x\sqrt {4{x^2} - 3} + 4}}}$

Τέλος, με παραγώγους βρίσκω $\boxed{ {\left( {\frac{{NT}}{{NP}}} \right)_{\min }} = \frac{1}{{49}}\left( {113 + 72\sqrt 2 } \right)}$ όταν $\boxed{ \cos \theta =x= \sqrt {\frac{6}{7}}}$

Απίθανη ελαχιστοποίηση λόγου

Απίθανη ελαχιστοποίηση λόγου

Re: Απίθανη ελαχιστοποίηση λόγου

Μέλη σε σύνδεση