Ίσες επιφάνειες

#1

: Ίσες επιφάνειες.png (17 KiB) Προβλήθηκε 697 φορές

Τα ορθογώνια ABCD

και

είναι όμοια και έχουν τον ίδιο προσανατολισμό.

Να δείξετε ότι το εμβαδόν της κίτρινης επιφάνειας είναι ίσο με το εμβαδόν της κόκκινης.

#2

Να μία λύση, σίγουρα όχι η καλύτερη, για την οποία επιφυλάσσομαι!

Είναι $DC=tA_1B_1\,\,\, (1)$ , όπου

ο λόγος ομοιότητας.

Αν x_1

είναι η προβολή του B_1D_1

στην διεύθυνση του

, και

η προβολή του

στην διεύθυνση του A_1D_1

, τότε επειδή και στις δύο περιπτώσεις οι γωνίες προβολής είναι ίσες, εύκολα έχουμε $x=tx_1\,\,\,(2)$
Η κόκκινη περιοχή ισούται με:

$\left [ (DB_1C)+(AD_1B) \right ]+\left [ (B_1A_1C) +(D_1C_1A)\right ]=$

$\dfrac{1}{2}(DC)(AD-x_1)+\dfrac{1}{2}(A_1B_1)(x-A_1D_1)=$

$\dfrac{1}{2}(AD)(DC)-\dfrac{1}{2}(A_1B_1)(A_1D_1) + \left [- \dfrac{1}{2}(DC)x_1+\dfrac{1}{2}(A_1B_1)x \right ]=$

$\dfrac{1}{2}(AD)(DC)-\dfrac{1}{2}(A_1B_1)(A_1D_1)$ , γιατί λόγω των (1) και (2), η τελευταία αγκύλη ισούται με μηδέν.

Ομοίως και η κίτρινη περιοχή, κ.λπ.

#3

Σ' ευχαριστώ Κώστα για την ενασχόληση με το θέμα!

Η πηγή της άσκησης εδώ

Ίσες επιφάνειες

Ίσες επιφάνειες

Re: Ίσες επιφάνειες

Re: Ίσες επιφάνειες

Μέλη σε σύνδεση