Έγκεντρο και πρόοδος

KARKAR · #1

: Έγκεντρο και πρόοδος.png (9.19 KiB) Προβλήθηκε 691 φορές

Βρείτε σχέση μεταξύ των στοιχείων του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, τέτοια ώστε οι αποστάσεις

του εγκέντρου

από τις τρεις κορυφές του , να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 31, 2022 10:39 am
Έγκεντρο και πρόοδος.pngΒρείτε σχέση μεταξύ των στοιχείων του ορθογωνίου τριγώνου , τέτοια ώστε οι αποστάσεις

του εγκέντρου από τις τρεις κορυφές του , να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

Έστω

η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και c<b.

Τότε $\displaystyle B{E^2} = AE \cdot CE.$ Δηλαδή,

$\displaystyle \frac{{{r^2}}}{{{{\sin }^2}\frac{B}{2}}} = r\sqrt 2 \cdot \frac{r}{{\sin \frac{C}{2}}} \Leftrightarrow \sqrt 2 {\sin ^2}\frac{B}{2} = \sin \frac{C}{2} \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\frac{{1 - \cos B}}{2}} \right) = \sqrt {\frac{{1 - \cos C}}{2}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \sqrt 2 \cdot \frac{{a - c}}{{2a}} = \sqrt {\frac{{a - b}}{{2a}}} \Leftrightarrow \frac{{{{(a - c)}^2}}}{{2{a^2}}} = \frac{{a - b}}{{2a}} \Leftrightarrow$ $\boxed{ {c^2} = a(2c - b)}$

Έγκεντρο και πρόοδος

Έγκεντρο και πρόοδος

Re: Έγκεντρο και πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση