Κέντρο χωρίς άριστα

KARKAR · #1

: Κέντρο χωρίς άριστα.png (15.07 KiB) Προβλήθηκε 1639 φορές

Οι κορυφές του τριγώνου ABC

είναι σημεία τριών ομόκεντρων κύκλων

με ακτίνες 2 , 4

και

. Μπορεί το εμβαδόν του τριγώνου να είναι

;

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 05, 2023 6:33 pm Κέντρο χωρίς άριστα.pngΟι κορυφές του τριγώνου είναι σημεία τριών ομόκεντρων κύκλων

με ακτίνες και . Μπορεί το εμβαδόν του τριγώνου να είναι ;

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι επίλυσης αλλά όλοι φαίνεται να έχουν πολλές πράξεις. Εφόσον είμαστε στον φάκελο των Καθηγητών ο παρακάτω τρόπος, o οποίος χρησιμοποιεί πολλαπλασιαστές Lagrange, φαίνεται αποδεκτός.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Δεν μπορεί να βρεθεί τρίγωνο εμβαδού

. Το μέγιστο που μπορεί να βρεθεί είναι περίπου 19,62

(χρησιμοποίησα κομπιουτεράκι).

Θέτουμε στο σχήμα του θεμαματοθέτη Θανάση $\angle BOC = a, \, \angle COA = b, \, \angle AOB = c$ . Εύκολα βλέπουμε από το σχήμα ότι για το τρίγωνο μέγιστου εμβαδού οι γωνίες a, b, c

είναι αμβλείες. Επίσης ικανοποιούν $\boxed {a+b+c = 2\pi}$ .

Το εμβαδόν του ABC

είναι

$(OAB)+(OAC)+(OBC) = \frac {1}{2} OA \cdot OB \sin c + \frac {1}{2} OA \cdot OC \sin b+ \frac {1}{2} OB \cdot OC \sin a =$
$=4 \sin c + 6 \sin b+ 12 \sin a$

Από την μέθοδο πολλαπλασιαστών Lagrange υπάρχει $\lambda$ με

$\dfrac {\partial }{\partial a }( 4 \sin c + 6 \sin b+ 12 \sin a) = \lambda \dfrac {\partial }{\partial a }(a+b+c-2\pi)$ , δηλαδή

$\boxed {12 \cos a =\lambda}$ . Όμοια $\boxed {6\cos b = \lambda }$ και $\boxed {4 \cos c= \lambda}$ .

Έχουμε τότε $2\pi - a= b+c$ και παίρνοντας συνημίτονα των δύο πλευρών έχουμε

$\cos a = \cos b \cos c - \sin b \sin c$ , ισοδύναμα

$\dfrac {\lambda }{ 12} = \dfrac {\lambda }{6 }\dfrac {\lambda }{ 4 }- \sqrt { 1- \dfrac {\lambda ^2}{6^2} } \sqrt { 1- \dfrac {\lambda ^2}{4^2} }$

Κρατάμε τα ριζικά στο δεύτερο μέλος και πάμε τον άλλο προσθετέο αριστερά. Τώρα υψώνουμε στο τετράγωνο. Μετά τις απλοποιήσεις θα βρούμε

$\boxed { \lambda ^3 - 14 \lambda ^2 + 144 =0}$

Έλυσα την εξίσωση με κομπιουτεράκι (το λογισμικό μου δυστυχώς δεν δουλεύει για να γλιτώσω πράξεις). Έχει δύο θετικές ρίζεις $\lambda \approx 3,748$ , $\lambda \approx 13,7$ και μία αρνητική $\lambda \approx -2,918$ . Κρατάμε την αρνητική γιατί οι γωνίες είναι αμβλείες και άρα τα συνημίτονά τους αρνητικά. Από την τιμή αυτή του $\lambda$ μπορούμε να βρούμε τα $\cos a, \, \cos b,\, ... \, , \, \sin c$ . Αφήνω την επίπονη πληκτρολόγιση. Με αντικατάσταση στην παραπάνω παράσταση $4 \sin c + 6 \sin b+ 12 \sin a$ για το εμβαδόν (*)

, θα βρούμε ότι η μέγιστή τιμή του είναι 19,62 <20

.

Ουφ.

(*)

Εναλλακτικά, το εμβαδόν αυτό γράφεται και $4 \sqrt { 1- \dfrac {\lambda ^2}{4^2} } + 6\sqrt { 1- \dfrac {\lambda ^2}{6^2} } + 12\sqrt { 1- \dfrac {\lambda ^2}{12^2} }$ , και αντικαθιστούμε εδώ το $\lambda \approx -2,918$ .

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

#4

orestisgotsis έγραψε: Παρ Ιούλ 07, 2023 9:15 am
Μήπως είχατε κατά νου και την άτοπο απαγωγή ; Διότι έφτασα στη
σχέση που έχετε, την εξίσωσα με το 20 και ήθελα άρρητος = ρητός,
αλλά ΔΕΝ …

Ώραια ιδέα αλλά δεν βλέπω πώς θα δώσει το επιθυμητό αποτέλεσμα. Για παράδειγμα αν a=b

οπότε $\sin c = \sin (2\pi - 2a) = -\sin 2a$ , το εμβαδόν ισούται με $4 \sin a + 6 \sin -12 \sin 2a= 10\sin a -12 \sin 2a$ . Αυτή ως συνεχής συνάρτηση παίρνει όλες τις τιμές σε ένα διάστημα. Ειδικά παίρνει και ρητές τιμές, ενώ από ότι κατάλαβα ισχυρίζεσαι ότι παίρνει μόνο άρρητες τιμές.

Το σχήμα δείχνει το γράφημά της. Παρατήρησε ότι στο σχήμα το

μένει έξω από τις τιμές της, που επαληθεύει (τουλάχιστον σε αυτή την ειδική περίπτωση όπου a=b

) το συμπέρασμα που έγραψα στην λύση μου.

#5

Καλησπέρα σε όλους.

Μια εικασία

Παρατηρώ ότι έχουμε μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου, αυτό που υπολόγισε ο Μιχάλης παραπάνω,

όταν το κέντρο των κύκλων είναι ορθόκεντρο του τριγώνου

ή κάνω λάθος;

Το θέτω ως θέμα για διερεύνηση.

#6

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Παρ Ιούλ 07, 2023 7:28 pm Μια εικασία

Παρατηρώ ότι έχουμε μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου, αυτό που υπολόγισε ο Μιχάλης παραπάνω,

όταν το κέντρο των κύκλων είναι ορθόκεντρο του τριγώνου

ή κάνω λάθος;

Το θέτω ως θέμα για διερεύνηση.

Σωστό, και πολύ ενδιαφέρον. Ιδού γιατί αληθεύει η ωραία αυτή εικασία.

Έστω τρίγωνο A_1BC

(αριστερό σχήμα) με $A_1,\, B, \, C$ στους κύκλους. Φέρνουμε από το A_1

την παράλληλη της βάσης

. Έστω ότι αυτή τέμνει τον μικρό κύκλο σε ένα δεύτερο σημείο A_2

. Παίρνοντας το

στο τόξο

αλλά από πάνω την παράλληλη, παρατηρούμε ότι το ABC

έχει μεγαλύτερο εμβαδόν από το A_1BC

. Άρα το μέγιστο τρίγωνο πρέπει να έχει την κορυφή του

στην εφαπτομένη του κύκλου (δεξί σχήμα). Με άλλα λόγια, η

είναι κάθετη στην απέναντι πλευρά, δηλαδή είναι ύψος. Όμοια για τα B, C

. Άρα το

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου.

#7

Να η αναντικατάστατη αξία της επικοινωνίας σε ζωντανό χρόνο μέσα το

Εξαιρετικά απλή η ιδέα του Μιχάλη

Οπότε, στην περίπτωση όπου το ορθόκεντρο ταυτίζεται με το

, έχουμε

$\displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{{BC \cdot AH}}{2} = \frac{{\left( {BH + HC} \right)\left( {AO + OH} \right)}}{2}$

$\displaystyle = \frac{{\left( {\sqrt {16 - {x^2}} + \sqrt {36 - {x^2}} } \right)\left( {2 + x} \right)}}{2},\;\;0 < x < 4$ , όπου OH=x

.

Το λογισμικό δίνει, όντως, αυτό το μέγιστο.

: 07-07-2023 Γεωμετρία.png (51.94 KiB) Προβλήθηκε 1426 φορές

#8

Συγχαρητήρια στον Μιχάλη και στο Γιώργο

για τις εξαιρετικές τοποθετήσεις τους.

Συγχαρητήρια όμως και στον θεματοδότη KARKAR

#9

Για μια όμορφη παρέμβαση Βισβίκη-Χριστοφίδη ανάλογη αυτής των Ρίζου-Λάμπρου δείτε εδώ ... με παραπομπή μάλιστα σε πρώιμη εμφάνιση του παρόντος προβλήματος (εδώ)!

Κέντρο χωρίς άριστα

Κέντρο χωρίς άριστα

Re: Κέντρο χωρίς άριστα

Re: Κέντρο χωρίς άριστα

Re: Κέντρο χωρίς άριστα

Re: Κέντρο χωρίς άριστα

Re: Κέντρο χωρίς άριστα

Re: Κέντρο χωρίς άριστα

Re: Κέντρο χωρίς άριστα

Re: Κέντρο χωρίς άριστα

Μέλη σε σύνδεση