Τομή τόξων

KARKAR · #1

: Αφιλόξενος τόπος.png (7.38 KiB) Προβλήθηκε 810 φορές

Στο - πλευράς

- τετράγωνο ABCD

, σχεδιάζουμε το - ακτίνας $r , r\leq4$ ,

τεταρτοκύκλιο $A\overset{\frown}{PQ}$ και εν συνεχεία το ημικύκλιο διαμέτρου

. Τα δύο

τόξα τέμνονται στο σημείο

, του οποίου αναζητούμε τον γεωμετρικό τόπο .

( Δεκτή λύση έστω και σε παραμετρική μορφή ! )

vgreco · #2

KARKAR έγραψε: Πέμ Αύγ 10, 2023 7:02 pm Αφιλόξενος τόπος.pngΣτο - πλευράς - τετράγωνο , σχεδιάζουμε το - ακτίνας $r , r\leq4$ ,

τεταρτοκύκλιο $A\overset{\frown}{PQ}$ και εν συνεχεία το ημικύκλιο διαμέτρου . Τα δύο

τόξα τέμνονται στο σημείο , του οποίου αναζητούμε τον γεωμετρικό τόπο .

( Δεκτή λύση έστω και σε παραμετρική μορφή ! )

: tomi_toxon.png (20.12 KiB) Προβλήθηκε 693 φορές

Είναι προφανές ότι $\overrightarrow{SQ} \cdot \overrightarrow{SC} = 0$ , απ' όπου σε συνδυασμό με την p^2 = x^2 + y^2

παίρνω:

$\displaystyle{ \begin{aligned} -x(4 - x) + (p - y)(4 - y) = 0 &\Leftrightarrow x^2 - 4x + y^2 - (p + 4)y + 4p = 0 \\ &\Leftrightarrow \left(x^2 + y^2 \right) - 4(x + y) = (y - 4) \sqrt{x^2 + y^2} \\ &\Leftrightarrow \left[ \left(x^2 + y^2 \right) - 4(x + y) \right]^2 = (y^2 - 8y + 16) \left( x^2 + y^2 \right) \\ &\Leftrightarrow (x - 8)y^2 + 32y + x^2(x - 8) = 0 \end{aligned} }$

Η εξίσωση αυτή έχει διακρίνουσα $\Delta = 1024 - 4x^2 (x - 8)^2 = -4(x - 4)^2(x^2 - 8x - 16) \geq 0$ για κάθε $x \in (0, 4)$ .

Εν τέλει, ο γεωμετρικός τόπος του S(x, y)

είναι η εξίσωση:

$\displaystyle{ \boxed{y = -\dfrac{(x - 4) \sqrt{-x^2 + 8x + 16} + 16}{x - 8}}, x \in \left( 0, \dfrac{16}{5} \right) }$

Τομή τόξων

Τομή τόξων

Re: Τομή τόξων

Μέλη σε σύνδεση