Εντυπωσιακό άθροισμα

#1

: Άθροισμα συνεφαπτομένων.png (17.02 KiB) Προβλήθηκε 1160 φορές

Στη διάμετρο

ενός ημικυκλίου κινείται το σημείο

Προς το άλλο μέρος της

γράφουμε τα ημικύκλια

διαμέτρων PS, SQ

και ονομάζουμε A, B, C

τα μέσα των τόξων $\overset\frown{PQ}, \overset\frown{PS}, \overset\frown{SQ}$ αντίστοιχα. Να υπολογίσετε

το άθροισμα $\displaystyle \cot A + \cot B + \cot C.$

add2math · #2

Από το νόμο των συνημιτόνων έχω για το τρίγωνο ABC

ότι $a^2=b^2+c^2-2bc \cos A=b^2+c^2-4\cdot \frac{1}{2}bc\sin A \frac{\cos A}{\sin A}=b^2+c^2-4 (ABC)\cot A$ . Άρα $4 (ABC)\cot A=b^2+c^2-a^2$ , όμοια $4 (ABC)\cot B=a^2+c^2-b^2$ και $4 (ABC)\cot C=b^2+a^2-c^2$ . Με πρόσθεση κατά μέλη έχω: $4 (ABC)(\cot A+\cot B+\cot C)=a^2+b^2+c^2$ .(*)

Έστω R, r_1 , r_2

οι ακτίνες των ημικύκλιων PQ, PS, SQ

. Προφανώς έχω R= r_1 + r_2

.

Από πυθαγόρειο στα ορθογώνια τρίγωνα APB,AQC, SBC,PBS,QSC

έχω

.

Για να βρούμε το εμβαδόν (ABC)

θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με αρχή των αξόνων το σημείο

οριζόντιο άξονα την ευθεία

και κατακόρυφο την κάθετη στην ευθεία

στο σημείο

. Οι κορυφές του τριγώνου ABC

έχουν συντεταγμένες A(R,R), B(r_1,-r_1)

και

. Άρα $\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}} = \left( r_{1} - R, - r_{1} - R \right)$ και $\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}} = \left(R- r_{2}, - r_{2} - R \right)$ .
Συνεπώς $(ABC)=\frac{1}{2}det(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}})=\frac{1}{2}\left| \begin{matrix} r_{1} - R & - r_{1} - R \\ R- r_{2} & - r_{2} - R \\ \end{matrix} \right|=...=R^2-r_1r_2=r_1^2+r_1r_2+r_2^2$ .
Τελικά η (*) γίνεται $4 (r_1^2+r_1r_2+r_2^2)(\cot A+\cot B+\cot C)=8(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)\Rightarrow \boxed{\cot A + \cot B + \cot C = 2}$

#3

add2math έγραψε: Πέμ Μαρ 27, 2025 4:55 pm Από το νόμο των συνημιτόνων έχω για το τρίγωνο ότι $a^2=b^2+c^2-2bc \cos A=b^2+c^2-4\cdot \frac{1}{2}bc\sin A \frac{\cos A}{\sin A}=b^2+c^2-4 (ABC)\cot A$ . Άρα $4 (ABC)\cot A=b^2+c^2-a^2$ , όμοια $4 (ABC)\cot B=a^2+c^2-b^2$ και $4 (ABC)\cot C=b^2+a^2-c^2$ . Με πρόσθεση κατά μέλη έχω: $4 (ABC)(\cot A+\cot B+\cot C)=a^2+b^2+c^2$ .(*)

Έστω οι ακτίνες των ημικύκλιων . Προφανώς έχω .

Από πυθαγόρειο στα ορθογώνια τρίγωνα έχω .

Για να βρούμε το εμβαδόν θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με αρχή των αξόνων το σημείο οριζόντιο άξονα την ευθεία και κατακόρυφο την κάθετη στην ευθεία στο σημείο . Οι κορυφές του τριγώνου έχουν συντεταγμένες και . Άρα $\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}} = \left( r_{1} - R, - r_{1} - R \right)$ και $\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}} = \left(R- r_{2}, - r_{2} - R \right)$ .
Συνεπώς $(ABC)=\frac{1}{2}det(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}})=\frac{1}{2}\left| \begin{matrix} r_{1} - R & - r_{1} - R \\ R- r_{2} & - r_{2} - R \\ \end{matrix} \right|=...=R^2-r_1r_2=r_1^2+r_1r_2+r_2^2$ .
Τελικά η (*) γίνεται $4 (r_1^2+r_1r_2+r_2^2)(\cot A+\cot B+\cot C)=8(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)\Rightarrow \boxed{\cot A + \cot B + \cot C = 2}$

#4

Η λύση μου.

Με τους συμβολισμούς του σχήματος, η ακτίνα του ημικυκλίου διαμέτρου

είναι

: Εντυπωσιακό άθροισμα.png (25.19 KiB) Προβλήθηκε 694 φορές

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \cot A = \cot \left( {90^\circ - (\varphi + \omega )} \right) = \tan (\varphi + \omega ) = \dfrac{{\dfrac{x}{{x + y}} + \dfrac{y}{{x + y}}}}{{1 - \dfrac{{xy}}{{{{(x + y)}^2}}}}} = \dfrac{{{{(x + y)}^2}}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \cot B = \cot \left( {90^\circ - (\theta - \varphi )} \right) = \tan (\theta - \varphi ) = \dfrac{{\dfrac{x}{y} - \dfrac{x}{{x + y}}}}{{1 + \dfrac{{{x^2}}}{{y(x + y)}}}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \cot C = \cot \left( {\omega + \theta } \right) = \dfrac{{\dfrac{{x + y}}{y} \cdot \dfrac{y}{x} - 1}}{{\dfrac{{x + y}}{y} + \frac{y}{x}}} = \dfrac{{{y^2}}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}$

Εύκολα τώρα, $\boxed{\cot A+\cot B+\cot C=2}$

Εντυπωσιακό άθροισμα

Εντυπωσιακό άθροισμα

Re: Εντυπωσιακό άθροισμα

Re: Εντυπωσιακό άθροισμα

Re: Εντυπωσιακό άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση