Γεωμετρικός τόπος κορυφών ομοίων τριγώνων

panos1962 · #1

Εάν το πρόβλημα έχει ξανατεθεί από άλλο μέλος, παρακαλώ να διαγραφεί από τους διαχειριστές.
Δίνεται τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ. Δίνεται, επίσης, κύκλος κ και σημείο Α' εκτός του κύκλου κ.
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Γ', όπου Α'Β'Γ' τρίγωνο όμοιο με το ΑΒΓ (γωνία Α'Β'Γ' ίση με γωνία ΑΒΓ, γωνία Α'Γ'Β' ίση με γωνία ΑΓΒ) και το Β' να κείται επί του κύκλου κ.

#2

panos1962 έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 18, 2025 1:59 pm
Εάν το πρόβλημα έχει ξανατεθεί από άλλο μέλος, παρακαλώ να διαγραφεί από τους διαχειριστές.
Δίνεται τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ. Δίνεται, επίσης, κύκλος κ και σημείο Α' εκτός του κύκλου κ.
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Γ', όπου Α'Β'Γ' τρίγωνο όμοιο με το ΑΒΓ (γωνία Α'Β'Γ' ίση με γωνία ΑΒΓ, γωνία Α'Γ'Β' ίση με γωνία ΑΓΒ) και το Β' να κείται επί του κύκλου κ.

Πάνο καλημέρα...

Θυμάμαι πως παρόμοιο θέμα έβαλες με τη διαφορά το σημείο $\displaystyle{B}$ να κινείται αντί για κύκλο, αλλά

πάνω σε μια ευθεία. Η αντιμετώπιση είναι ίδια..

Σκεφτόμαστε το ακόλουο σχήμα:

: Γεωμετρικός τόπος κορυφής τριγώνου 1.png (35.89 KiB) Προβλήθηκε 1050 φορές

Θεωρούμε το σημείο $\displaystyle{B'}$ να διατρέχει τον δοθέντα κύκλο $\displaystyle{C_1}$ και με πλευρά την $\displaystyle{(A'B')}$

κατασκευάζουμε το τρίγωνο $\displaystyle{(A'B'C')}$ όμοιο με το δοθέν $\displaystyle{(ABC)}$ .

Ἐτσι το σημείο $\displaystyle{C' }$ προκύπτει από δυο γεωμ. μετασχηματισμούς:

1. Μια στροφή γύρω από το κέντρο $\displaystyle{A'}$ κατά γωνία $\displaystyle{\widehat{A} }$

2. Μια ομοιοθεσία πάλι με κέντρο το σημείο $\displaystyle{A'}$ και λόγο ίσο με $\displaystyle{l=\frac{AC}{AB} }$

Οι δυο αυτοί μετασχηματισμοἰ δίνουν ως αποτέλεσμα ένα κύκλο $\displaystyle{C_2}$ εικόνα του $\displaystyle{C_1}$ .

Με την ίδια λογική προκύπτει και η εικόνα $\displaystyle{K}$ του κέντρου $\displaystyle{O}$ . Αυτό σημαίνει ότι για

το κέντρο $\displaystyle{K}$ ισχύει:

$\displaystyle{(OK)=l(BC) \ \ (1) }$

και βρίσκεται κατά τη διεύθυνση που ορίζει γωνία $\displaystyle{\widehat{B} \ \ (2) }$

Παραθέτω και το δυναμικό σχήμα στη διεύθυνση:

https://www.geogebra.org/m/afwx8xcp

Κώστας Δόρτσιος

panos1962 · #3

Πράγματι, είχα ανεβάσει το ίδιο πρόβλημα με ευθεία που μου είχε προκύψει από κάποιο τελείως άσχετο πρόβλημα. Επειδή μου άρεσε εκείνο το πρόβλημα, σκέφτηκα τι μπορεί να γίνεται αν αντί για ευθεία έχω κύκλο, ωστόσο ενώ βρήκα τον τόπο (πρακτικά, δεν γνωρίζω τόσο καλά το geogebra ή κάποιο άλλο εργαλείο για να κάνω δοκιμές και animations με τον υπολογιστή), δεν κατάφερα να το αποδείξω με την ευκολία που απέδειξα τον αντίστοιχο τόπο με την ευθεία.

Γεωμετρικός τόπος κορυφών ομοίων τριγώνων

Γεωμετρικός τόπος κορυφών ομοίων τριγώνων

Re: Γεωμετρικός τόπος κορυφών ομοίων τριγώνων

Re: Γεωμετρικός τόπος κορυφών ομοίων τριγώνων

Μέλη σε σύνδεση