Διπλή ελαχιστοποίηση

KARKAR · #1

: Διπλή ελαχιστοποίηση.png (7.33 KiB) Προβλήθηκε 949 φορές

Στο ορθογώνιο τραπέζιο ABCD

, είναι :

και τα

σημεία των AB , CD

αντίστοιχα . Ενδιαφερόμαστε για την ελαχιστοποίηση των αθροισμάτων : α) SC+SD

... και β) : TA+TB

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 13, 2025 9:39 am
Διπλή ελαχιστοποίηση.pngΣτο ορθογώνιο τραπέζιο , είναι : και τα σημεία των

αντίστοιχα . Ενδιαφερόμαστε για την ελαχιστοποίηση των αθροισμάτων : α) ... και β) : .

.
Χάνω κάτι; Το θέμα αυτό είναι άπειρες φορές ειπωμένο, εντός και εκτός mathematica, ήδη από την αρχαιότητα στον Ήρωνα τον Αλεξανδρέα, υπάρχει σε σχολικά βιβλία και σε βοηθήματα. Πραγματικά αδυνατώ να καταλάβω γιατί επαναλαμβάνεται άλλη μία φορά, και μάλιστα στον Φάκελο του Καθηγητή.

'Οπως και να είναι, με τις χιλιοειπωμένες και γνωστές τεχνικές θα βρούμε (το σχήμα τα λέει όλα) $min (SC+SD)=10, \, min(TA+TB)= 3\sqrt {10}$
.

KARKAR · #3

Όχι Μιχάλη δεν χάνεις κάτι , εδώ έχουμε αστοχία του θεματοδότη

( Ίσως θα ήταν σκόπιμη

η - απλή άλλωστε - "αριθμητικοποίηση" των θέσεων των σημείων S , T

(

στην λύση σου ) ) .

: Διπλή ελαχιστοποίηση.png (7.86 KiB) Προβλήθηκε 922 φορές

Κάνω μια προσπάθεια "εξωραϊσμού" του θέματος : Δείξτε ότι όταν τα SC+SD , TA+TB

ελαχιστοποιούνται , τότε το τμήμα

είναι ύψος στο τρίγωνο SCD

και διχοτόμος στο TAB

.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 13, 2025 11:56 am
Δείξτε ότι όταν τα

ελαχιστοποιούνται , τότε το τμήμα είναι ύψος στο τρίγωνο και διχοτόμος στο .

.
Ενδιαφέρον.

Βρίσκουμε τις συντεταγμένες των διαφόρων σημείων. Τα αρχικά είναι A(0,6), B(0,0), C(5,0),D(3,6)

οπότε

. H ευθεία

είναι η

και άρα η

είναι η

από όπου εύκολα B'(9,3)

. Άρα η

είναι η

οπότε λύνοντας το σύστημα των CD, B'A

βρίσκουμε το $T\left (\dfrac {27}{8}, \dfrac {39}{8} \right )$

Όμοια η CD'

είναι η

και άρα $S\left (0, \dfrac {15}{4} \right )$ .

Τώρα βλέπουμε ότι η κλίση της

είναι $\dfrac {1}{3}$ που επιβεβαιώνει ότι είναι κάθετη στην

η οποία έχει κλίση

.

Όμοια, για να δείξουμε ότι η

είναι διχοτόμος αρκεί να δείξουμε $\dfrac {AS}{SB} = \dfrac {AT}{TB}$ που είναι άμεσο από τις συντεταγμένες των σημείων. Τελειώσαμε.
.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 13, 2025 11:56 am
Δείξτε ότι όταν τα

ελαχιστοποιούνται , τότε το τμήμα είναι ύψος στο τρίγωνο και διχοτόμος στο .

Αξίζει να προσθέσω (κάτι που το διαπίστωσα μετά που έγραψα την παραπάνω λύση) ότι η ζητούμενη ιδιότητα, δηλαδή " είναι ύψος στο τρίγωνο και διχοτόμος στο " ισχύει γενικά, όχι μόνο για τα αριθμητικά δεδομένα της άσκησης.

Η λύση που έγραψα περνάει ατόφια αρχίζοντας από γενικά σημεία A(0,a), B(0,0), C(c,0), D(d,a)

. Δεν την γράφω αφού η παραπάνω προσαρμόζεται εύκολα αλλά η πληκτρολόγιση είναι επίπονη. Πάντως υπάρχει και ωραία καθαρά γεωμετρική απόδειξη.

Θανάση, βρήκες έξοχη ιδιότητα

Διπλή ελαχιστοποίηση

Διπλή ελαχιστοποίηση

Re: Διπλή ελαχιστοποίηση

Re: Διπλή ελαχιστοποίηση

Re: Διπλή ελαχιστοποίηση

Re: Διπλή ελαχιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση