Θέλω να μοιάσω ...

KARKAR · #1

: Θέλω να μοιάσω.png (34.65 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές

Η ευθεία

τέμνει τον κύκλο x^2+y^2=9

στα σημεία B , C

και η ευθεία $y=\dfrac{23}{9}$ σε δύο άλλα

σημεία , από τα οποία το "αριστερότερο" ονομάζουμε

. Η χορδή που συνδέει το

με τον νότιο πόλο

τέμνει την

στο

. Ο κύκλος (A,B,P)

τέμνει την

στο

. Δείξτε ότι : $ABT\approx ASC$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 18, 2025 12:24 pm
Θέλω να μοιάσω.pngΗ ευθεία τέμνει τον κύκλο στα σημεία και η ευθεία $y=\dfrac{23}{9}$ σε δύο άλλα

σημεία , από τα οποία το "αριστερότερο" ονομάζουμε . Η χορδή που συνδέει το με τον νότιο πόλο

τέμνει την στο . Ο κύκλος τέμνει την στο . Δείξτε ότι : $ABT\approx ASC$ .

Οι συντεταγμένες των B,C

προκύπτουν από τη λύση του συστήματος ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9$ και y=-1

, άρα έχουμε: $B\left( -2\sqrt{2},-1 \right),C\left( 2\sqrt{2},-1 \right)$ και η συντεταγμένες του

από τη λύση του συστήματος ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9$ και $y=\dfrac{23}{9}$ , άρα έχουμε για το μικρότερο

(αφού το

είναι το αριστερότερο σημείο) $B\left( -\dfrac{10\sqrt{2}}{9},\dfrac{23}{9} \right)$ και φυσικά ο νότιος πόλος έχει συντεταγμένες $S\left( 0,-3 \right)$ .

Είναι $\angle ATB\overset{A,T,P,B\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle APB=\dfrac{\overset\frown{AB}+\overset\frown{SC}}{2}=\dfrac{\overset\frown{AB}+\overset\frown{BC}}{2}=\dfrac{\overset\frown{ABS}}{2}=\angle ACS:\left( 1 \right)$ και
$\cos \left( \angle BAT \right)=\cos \left( \angle BAC \right)=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|\cdot \left| \overrightarrow{AC} \right|}=\dfrac{\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SC}}{\left| \overrightarrow{SA} \right|\cdot \left| \overrightarrow{SC} \right|}=\cos \left( \angle ASC \right)$ και επειδή η συνάρτηση συνημίτονο είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα $\left( 0,\pi \right)$ θα είναι $\angle BAT=\angle ASC:\left( 2 \right)$ .

Από $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ προκύπτει ότι τα εν λόγω τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες άρα είναι όμοια.
Σχόλιο: οι πράξεις αφήνονται για τα «μηχανάκια»

Θέλω να μοιάσω ...

Θέλω να μοιάσω ...

Re: Θέλω να μοιάσω ...

Μέλη σε σύνδεση