Γίνεται "δεκτό";

#1

Καλησπέρα σε όλους.

Ένα, ας πούμε, υποθετικό σενάριο.

Στην Α΄ Λυκείου ζητείται η απόδειξη της πρότασης: "Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της".

Ένας μαθητής δίνει το παρακάτω σχήμα με το σχόλιο:
Προφανές, ως άμεση συνέπεια των ιδιοτήτων του ορθογωνίου παραλληλογράμμου.

: 02-06-2016 Γεωμετρία.jpg (8.41 KiB) Προβλήθηκε 1895 φορές

Σημειώνω ότι η απόδειξη του σχολικού βιβλίου ακολουθεί άλλο δρόμο (ΕΔΩ), παρ. 5.9, σχήμα 30.

Επίσης, οι ιδιότητες των παραλληλογράμμων προηγούνται του θεωρήματος αυτού.

Η ερώτησή μου είναι αν δικαιούται ο διδάσκων να απορρίψει την απάντηση του μαθητή, επειδή διαφέρει από την "επίσημη" ή να αφαιρέσει μόρια, λόγω ελλιπούς διατύπωσης της απάντησης.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Kαλησπέρα. Αυτό το απόγευμα με βρίσκει να σκέφτομαι για τα θέματα των εξετάσεων της Α' Γυμνασίου...
Με καταλαβαίνετε...
Γιώργο , αυτήν την σκέψη που εξέθεσες έγραφε το βιβλίο της Α' Λυκείου των Παπαμιχαήλ-Σκιαδά , το οποίο είχα όταν ήμουν Α΄ Λυκείου το σχολικό έτος 1982-1983. Φυσικά το βιβλίο έγραφε αναλυτικά την διαδικασία απόδειξης , δεν έγραφε '' προφανές '' ...
Αν ο μαθητής γράψει '' προφανές '' , θα του 'κοβα κάτι , γιατί η Γεωμετρία είναι μάθημα που απαιτεί εξηγήσεις , όχι τηλεγραφήματα.
Αν μου το έλυνε πλήρως ο μαθητής , θα το έκανα δεκτό και θα τον κέρναγα πορτοκαλαδίτσα μια και διαφοροποιήθηκε από το σχολικό βιβλίο με πετυχημένο τρόπο.

Christos.N · #3

Γιώργο όπως το διατυπώνει είμαι λάθος. Με το εξής σκεπτικό :

Το προφανές γιατι;

Πώς κατασκεύασε το ορθογώνιο ;

Δηλαδή Γιώργο θεωρώ σωστή την απόδειξη αν περιγράψει την κατασκευή του ορθογωνίου και στη συνέχεια αναφέρει τις ιδιότητες του .

Και καταλήξει στο συμπέρασμα...

#4

Συμφωνώ κι εγώ ότι οπωσδήποτε θα κοπούν μόρια λόγω ελλιπούς απάντησης, αλλά δεν επιτρέπεται να μη γίνει δεκτή μία σωστή λύση επειδή διαφέρει από την "επίσημη".
Ας δούμε άλλο ένα παράδειγμα. Γράφω παρακάτω μία, πάντα υποθετική, απόδειξη κάποιου μαθητή, στο εξής πόρισμα:

Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μία γωνία του ισούται με , τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας.

: acceptable.png (7.5 KiB) Προβλήθηκε 1787 φορές

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma (\widehat{A}=90^0)$ με $\widehat{B}=30^0$ . Θα δείξω ότι $\displaystyle{{\rm A}\Gamma = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{2}}$ .

Προεκτείνω την $\Gamma A$ προς το μέρος του

κατά τμήμα $A\Delta=A\Gamma$ . Η

είναι μεσοκάθετος του $\Delta\Gamma$ , άρα το τρίγωνο $B\Delta\Gamma$ είναι ισοσκελές και επειδή έχει τη γωνία $\widehat{\Gamma}=60^0$ θα είναι ισόπλευρο.

Επομένως $\displaystyle{\Delta \Gamma = {\rm B}\Gamma \Leftrightarrow 2{\rm A}\Gamma = {\rm B}\Gamma \Leftrightarrow {\rm A}\Gamma = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{2}}$

Μπορούν να κοπούν μόρια από αυτή την απόδειξη, επειδή διαφέρει από την "επίσημη";

Christos.N · #5

george visvikis έγραψε:

Μπορούν να κοπούν μόρια από αυτή την απόδειξη, επειδή διαφέρει από την "επίσημη";

Μήπως του χρόνου να πας θετικό προσανατολισμο;

makisman · #6

Γιώργο Ριζο, να διατυπώσω την εξης απορία. Το τετραγωνο πως θα δικαιολογήσουμε οτι χωρίζεται απο τη διαγώνιο σε δυο ίσα τρίγωνα, εκ των οποίων ενα απο αυτά είναι ίσο με το τυχαίο τρίγωνο που θέλουμε να αποδείξουμε την συγκεκριμένη ιδιότητα ; Δε θα πρεπε πρωτα να ξεκινήσω από το τρίγωνο, να προεκτείνω την διάμεσο και να δικαιολογησω οτι προκυπτει τετραγωνο;

#7

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Καλησπέρα σε όλους.

Ένα, ας πούμε, υποθετικό σενάριο.

Στην Α΄ Λυκείου ζητείται η απόδειξη της πρότασης: "Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της".

Ένας μαθητής δίνει το παρακάτω σχήμα με το σχόλιο:
Προφανές, ως άμεση συνέπεια των ιδιοτήτων του ορθογωνίου παραλληλογράμμου.

02-06-2016 Γεωμετρία.jpg
Σημειώνω ότι η απόδειξη του σχολικού βιβλίου ακολουθεί άλλο δρόμο (ΕΔΩ), παρ. 5.9, σχήμα 30.

Επίσης, οι ιδιότητες των παραλληλογράμμων προηγούνται του θεωρήματος αυτού.

Η ερώτησή μου είναι αν δικαιούται ο διδάσκων να απορρίψει την απάντηση του μαθητή, επειδή διαφέρει από την "επίσημη" ή να αφαιρέσει μόρια, λόγω ελλιπούς διατύπωσης της απάντησης.

Γιώργο, γεια σου !

Ο διδάσκων ξέρει το μαθητή του και τη σχέση του με την γεωμετρία. Προσωπικά, αν μια τέτοια σκέψη την έκανε μαθητής μου , θα ξεπερνούσα τυχόν

επιφυλλάξεις και θα του έδινα ολόκληρο το δώρο, έστω και για να του αυξήσω την αγάπη προς την γεωμετρία.

Δεν νομίζω ότι και η κανονική απόδειξη έχει κάτι παραπάνω από το ότι : κάθε ορθογώνιο τρίγωνο είναι το μισό ενός ορθογωνίου κλπ.

Ο μαθητής εντυπωσιάστηκε από τη λύση του και ήθελε αυτό να το δείξει στον καθηγητή του. Αυτή βέβαια είναι η τίμια εκδοχή !

Επειδή εμένα μου αρέσουν οι αιρετικές απόπειρες των μαθητών, ακόμα κι αν έχουν ένα σημείο που χρήζει μιας κουβέντας, τις αξιολογώ με άριστα.

Αυτό δεν είναι άλλωστε το νόημα της διδασκαλίας της γεωμετρίας , δηλαδή ο μαθητής να επινοεί και να βρίσκει δικούς του τρόπους στη λύση προβλημάτων ;

Μπ

(Το αν η λύση αυτή έγινε από το μαθητή ή είναι κάτι που συγκράτησε από κάποιο συνάδελφο, δεν έχει νόημα να το ψάξουμε. Ακόμα και έτσι να είναι, οι τρεις μονάδες(15) αξίζουν ! Υπάρχουν ακόμα τόσες άλλες μονάδες μέχρι το 100 για να δείξει ο μαθητής ότι πραγματικά έμαθε γεωμετρία. Αλήθεια, πόσο έγραψε ο μαθητής στις εξετάσεις ; ).

#8

Καλησπέρα. Ευχαριστώ για το ενδιαφέρον σας.

Καταλαβαίνω ότι το πλαίσιο στο οποίο έθεσα το ερώτημα είναι ασαφές, γι' αυτό και το ερμηνεύει ο καθένας από τη δική του οπτική γωνία. Σαν τα αλήστου μνήμης "παιδαγωγικά" ερωτήματα του ΑΣΕΠ: "Αν ο μαθητής ατακτεί, τότε ο διδάσκων Α: αδιαφορεί, Β: του κάνει ματιές, Γ: του βάζει παραπάνω ασκήσεις για το σπίτι, Δ: τον μαλώνει μπροστά στους συμμαθητές του...".

Χρειάζεται λοιπόν σε κάθε ερώτημα "διδακτικής κατάστασης" να οριοθετούμε το πλαίσιο.

Ας θεωρήσω δύο περιπτώσεις: Σε προαγωγικές εξετάσεις και στην τάξη.

Αν μού έδειχνε το σχήμα στην τάξη, έστω και χωρίς λόγια,θα χαιρόμουν ιδιαίτερα με την ευστροφία του μαθητή. Άλλωστε εμείς γιατί χαιρόμαστε να διαβάζουμε τις Αποδείξεις χωρίς λόγια του Roger Nelsen, δίχως να τον μαλώνουμε για τις ελλιπείς διατυπώσεις του;

Christos.N έγραψε:Γιώργο όπως το διατυπώνει είναι λάθος. Με το εξής σκεπτικό :
Το προφανές γιατι;
Πώς κατασκεύασε το ορθογώνιο ;
Δηλαδή Γιώργο θεωρώ σωστή την απόδειξη αν περιγράψει την κατασκευή του ορθογωνίου και στη συνέχεια αναφέρει τις ιδιότητες του .
Και καταλήξει στο συμπέρασμα...

Σε προαγωγικές εξετάσεις, σε καμιά περίπτωση δεν θα έκοβα μονάδες αν δεν μού περιέγραφε την κατασκευή του ορθογωνίου.
Δε νομίζω ότι απαιτείται κάτι τέτοιο. Τότε και στην επίσημη απόδειξη θα έπρεπε να περιγράψει την κατασκευή της κάθετης. Κάτι άλλο, φαντάζομαι εννοεί ο Χρήστος.
Θα ήθελα απλά να αναφέρει:
Σε κάθε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ABCD

οι διαγώνιοι διχοτομούνται στο

και είναι ίσες, άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο ABD

η

είναι διάμεσος στην υποτείνουσα

και είναι $AO = \frac{BD}{2}$ , οπότε ισχύει η πρόταση.

makisman έγραψε:Γιώργο Ριζο, να διατυπώσω την εξης απορία. Το τετραγωνο πως θα δικαιολογήσουμε οτι χωρίζεται απο τη διαγώνιο σε δυο ίσα τρίγωνα, εκ των οποίων ενα απο αυτά είναι ίσο με το τυχαίο τρίγωνο που θέλουμε να αποδείξουμε την συγκεκριμένη ιδιότητα ; Δε θα πρεπε πρωτα να ξεκινήσω από το τρίγωνο, να προεκτείνω την διάμεσο και να δικαιολογησω οτι προκυπτει τετραγωνο;

Γράφοντας "σε κάθε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο" νομίζω ότι καλύπτεται πλήρως η απόδειξη. Δεν χρειάζεται να αποδείξουμε ότι αν σε κάθε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο "σβήσουμε" το μισό τρίγωνο, αυτό που απομένει είναι επίσης ορθογώνιο τρίγωνο. Συγνώμη αν εννοείς κάτι άλλο, το οποίο δεν κατάλαβα.

Γενικά,
Λαμβάνουμε υπόψη μας ότι αναφερόμαστε σε μαθητές. Δεν κρίνουμε π.χ. συγγραφείς μαθηματικών βιβλίων ή συντάκτες της τράπεζας θεμάτων. Η σαφής, πλήρης, απέριττη διατύπωση είναι ζητούμενο και, δυστυχώς, μακρινός στόχος της εκπαίδευσής μας.

Ας συνεχίσω την όμορφη προέκταση που έδωσε ο Γιώργος, που είναι απ' τα αγαπημένα μου θέματα, όταν ζητώ από τους μαθητές να δώσουν και άλλες προσεγγίσεις στα θεωρήματα αυτά.

Αν ένας μαθητής χρησιμοποιήσει Τριγωνομετρία: $sin B = sin 30^0 = \frac{1}{2}\Rightarrow AC = \frac{BC}{2}$ , σαφώς είναι "εκτός ύλης", αλλά τη ευρύτητα της σκέψης του την επικροτώ στην τάξη.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Και κάτι ακόμα. Θα σάς άρεσε να δείτε (το έχω δει και το έχω θαυμάσει) στην τάξη το παρακάτω σχήμα για απόδειξη του θεωρήματος της διαμέσου; Σαφώς είναι σε άλλη διάταξη της ύλης, αλλά το βρίσκω κομψότατο.

: 02-06-2016 Γεωμετρία β.jpg (10.47 KiB) Προβλήθηκε 1732 φορές

Κάθε τρίγωνο εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο είναι ορθογώνιο.
Τότε η υποτείνουσά του είναι διάμετρος του κύκλου και η διαμέσος του στην υποτείνουσα είναι ακτίνα του κύκλου, άρα το μισό της.

makisman · #9

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
makisman έγραψε:Γιώργο Ριζο, να διατυπώσω την εξης απορία. Το τετραγωνο πως θα δικαιολογήσουμε οτι χωρίζεται απο τη διαγώνιο σε δυο ίσα τρίγωνα, εκ των οποίων ενα απο αυτά είναι ίσο με το τυχαίο τρίγωνο που θέλουμε να αποδείξουμε την συγκεκριμένη ιδιότητα ; Δε θα πρεπε πρωτα να ξεκινήσω από το τρίγωνο, να προεκτείνω την διάμεσο και να δικαιολογησω οτι προκυπτει τετραγωνο;
Γράφοντας "σε κάθε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο" νομίζω ότι καλύπτεται πλήρως η απόδειξη. Δεν χρειάζεται να αποδείξουμε ότι αν σε κάθε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο "σβήσουμε" το μισό τρίγωνο, αυτό που απομένει είναι επίσης ορθογώνιο τρίγωνο. Συγνώμη αν εννοείς κάτι άλλο, το οποίο δεν κατάλαβα.

Γιώργο Ρίζο, προσωπικά χαιρομαι για καθε απάντηση μη τετριμένη που δίνει ενας μαθητής σε ένα πρόβλημα ακόμα και αν είναι λαθος, αρκει να εχει μια "καλή" λογική. Στο συγκεκριμένο θέμα η ενστασή μου είναι η εξής : με δεδομένο ορθογώνιο τριγωνο , μπορούμε να ισχυριστούμε οτι υπαρχει ορθογώνιο που μια διαγώνιός του να το χωρίζει σε δυο ορθογώνια τρίγωνα εκ των οποίων το ένα τουλάχιστον είναι ίσο με το αρχικό; Δηλ. χωρίζοντας ένα ορθογώνιο με τη διαγώνιο μπορώ να φτιάξω οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο; Αυτό δε θέλει κατασκευή και δικαιολόγηση; Συγνώμη αν δεν έγινα κατανοητός πριν.

#10

makisman έγραψε: Στο συγκεκριμένο θέμα η ενστασή μου είναι η εξής : με δεδομένο ορθογώνιο τριγωνο , μπορούμε να ισχυριστούμε οτι υπαρχει ορθογώνιο που μια διαγώνιός του να το χωρίζει σε δυο ορθογώνια τρίγωνα εκ των οποίων το ένα τουλάχιστον είναι ίσο με το αρχικό;

Καλημέρα!

Βεβαίως! Με δεδομένο το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, μπορούμε πάντοτε να έχουμε το ορθογώνιο ABDC

φέρνοντας απλώς παράλληλες, από τις κορυφές των οξειών γωνιών, προς τις κάθετες πλευρές του.

: acceptable.II.png (5.48 KiB) Προβλήθηκε 1621 φορές

Η διαγώνιος χωρίζει το ορθογώνιο σε δύο ίσα τρίγωνα, οπότε και τα δύο είναι ίσα με το αρχικό και όχι το ένα τουλάχιστον.

makisman · #11

george visvikis έγραψε:
makisman έγραψε: Στο συγκεκριμένο θέμα η ενστασή μου είναι η εξής : με δεδομένο ορθογώνιο τριγωνο , μπορούμε να ισχυριστούμε οτι υπαρχει ορθογώνιο που μια διαγώνιός του να το χωρίζει σε δυο ορθογώνια τρίγωνα εκ των οποίων το ένα τουλάχιστον είναι ίσο με το αρχικό;
Καλημέρα!

Βεβαίως! Με δεδομένο το ορθογώνιο τρίγωνο , μπορούμε πάντοτε να έχουμε το ορθογώνιο φέρνοντας απλώς παράλληλες, από τις κορυφές των οξειών γωνιών, προς τις κάθετες πλευρές του.

acceptable.II.png
Η διαγώνιος χωρίζει το ορθογώνιο σε δύο ίσα τρίγωνα, οπότε και τα δύο είναι ίσα με το αρχικό και όχι το ένα τουλάχιστον.

Καλημέρα Γιώργο , αυτό ακριβώς ισχυρίστηκα ,οτι πρέπει να γίνει κατασκευή του ορθογωνίου από το υπάρχον ορθογώνιο τρίγωνο για να'ναι πλήρης η απόδειξη .

Μάκης.

#12

makisman έγραψε: Καλημέρα Γιώργο , αυτό ακριβώς ισχυρίστηκα ,οτι πρέπει να γίνει κατασκευή του ορθογωνίου από το υπάρχον ορθογώνιο τρίγωνο για να'ναι πλήρης η απόδειξη .

Μάκης.

Γεια σου Μάκη.

Ναι, αλλά είναι τόσο απλή κατασκευή, που κανένας καθηγητής δεν πρόκειται να την απαιτήσει. Αν ένας μαθητής γράψει απλώς:
"Κατασκευάζω το ορθογώνιο και φέρνω τη διαγώνιο που τέμνει την άλλη διαγώνιο στο . Επειδή οι διαγώνιοι είναι ίσες και διχοτομούνται, η είναι διάμεσος του και είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας", νομίζω ότι η απόδειξη είναι πλήρης και δεν χρειάζεται να εξηγήσει πώς κατασκεύασε το ορθογώνιο.

#13

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Αν ένας μαθητής χρησιμοποιήσει Τριγωνομετρία: $sin B = sin 30^0 = \frac{1}{2}\Rightarrow AC = \frac{BC}{2}$ , σαφώς είναι "εκτός ύλης", αλλά τη ευρύτητα της σκέψης του την επικροτώ στην τάξη.

Αυτή είναι μια πονεμένη ιστορία!!!
Χρόνια τώρα, προσπαθούμε να πείσουμε τα παιδιά της Α Λυκείου, ότι το Πυθαγόρειο Θεώρημα και η Τριγωνομετρία, ανήκουν στη σφαίρα της φαντασίας τους, δεν τα έχουν "διδαχτεί" ποτέ, υποτίθεται ότι δεν τα ξέρουν και κατά συνέπεια δεν επιτρέπεται να τα χρησιμοποιούν!
Αν στο παράδειγμα αυτό του Γιώργου, ο μαθητής προβάλει το επιχείρημα: "Το γνωρίζω από την Β' Γυμνασίου", ποιος καθηγητής θα τον κοιτάξει στα μάτια και, χωρίς να ντραπεί, θα του πει: "Ναι, αλλά δεν έχεις το δικαίωμα να το χρησιμοποιείς".

Γνωρίζω πολύ καλά το δικηγόρο του διαβόλου, που θα πει, ότι η Γεωμετρία έχει κάποια συνέπεια και συνέχεια και ότι όλα πρέπει να ακολουθούν μία τεκμηριωμένη λογική και σειρά. Σε αυτή την περίπτωση, ας αλλάξει η λογική του Γυμνασίου, ώστε τα παιδιά να μπορούν να χρησιμοποιούν οποιαδήποτε γνώση έχουν διδαχτεί στο Γυμνάσιο.

Οι "σοφοί" που ορίζουν τη σχολική ύλη, ας ρίξουν μια ματιά σε αυτό το παράδοξο: "Έχω διδαχτεί κάτι, αλλά δεν επιτρέπεται να το γνωρίζω".

mathematica.gr

Γίνεται "δεκτό";

Γίνεται "δεκτό";

Re: Γίνεται "δεκτό";

Re: Γίνεται "δεκτό";

Re: Γίνεται "δεκτό";

Re: Γίνεται "δεκτό";

Re: Γίνεται "δεκτό";

Re: Γίνεται "δεκτό";

Re: Γίνεται "δεκτό";

Re: Γίνεται "δεκτό";

Re: Γίνεται "δεκτό";

Re: Γίνεται "δεκτό";

Re: Γίνεται "δεκτό";

Re: Γίνεται "δεκτό";

Μέλη σε σύνδεση