Γεωμετρικός τόπος κορυφών ομοίων τριγώνων

[panos1962]

Πιθανότατα να είναι γνωστό το πρόβλημα. Εάν ναι, παρακαλώ να διαγραφεί από τους διαχειριστές.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Δίνεται, επίσης, ευθεία ε και σημείο Α' εκτός της ευθείας ε.
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Γ', όπου Α'Β'Γ' τρίγωνο όμοιο με το ΑΒΓ (γωνία Α'Β'Γ' ίση με γωνία ΑΒΓ, γωνία Α'Γ'Β' ίση με γωνία ΑΓΒ) και το Β' να κείται επί της ευθείας ε.

[Mihalis_Lambrou]

Πιθανότατα να είναι γνωστό το πρόβλημα. Εάν ναι, παρακαλώ να διαγραφεί από τους διαχειριστές.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Δίνεται, επίσης, ευθεία ε και σημείο Α' εκτός της ευθείας ε.
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Γ', όπου Α'Β'Γ' τρίγωνο όμοιο με το ΑΒΓ (γωνία Α'Β'Γ' ίση με γωνία ΑΒΓ, γωνία Α'Γ'Β' ίση με γωνία ΑΓΒ) και το Β' να κείται επί της ευθείας ε.

.
Σχεδιάζουμε το τρίγωνο που είναι όμοιο με το δοθέν , και έχει τις δύο κορυφές του επί της δοθείσας ευθείας . Ο σχεδιασμός είναι απλός (υπόδειξη: Το ύψος του από το , δηλαδή η απόσταση του από την δοθείσα ευθεία και το ύψος από το του δοθέντος τριγώνου έχουν λόγο όσο ο λόγος ομοιότητας των δύο τριγώνων και , και λοιπά).

Παρατηρούμε τώρα ότι το είναι εγγράψιμμο αφού . Άρα (σταθερή). Αφού το σημείο είναι δοθέν (σταθερό) έπεται ότι το βρίσκεται επί σταθερής ευθείας που σχηματίζει δοθείσα γωνία με την . Με άλλα λόγια, ο ζητούμενος τόπος είναι η κόκκινη ευθεία.

Το αντίστροφο, άμεσο.
.

[KDORTSI]

Πιθανότατα να είναι γνωστό το πρόβλημα. Εάν ναι, παρακαλώ να διαγραφεί από τους διαχειριστές.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Δίνεται, επίσης, ευθεία ε και σημείο Α' εκτός της ευθείας ε.
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Γ', όπου Α'Β'Γ' τρίγωνο όμοιο με το ΑΒΓ (γωνία Α'Β'Γ' ίση με γωνία ΑΒΓ, γωνία Α'Γ'Β' ίση με γωνία ΑΓΒ) και το Β' να κείται επί της ευθείας ε.

Καλημέρα....

Είναι μια άσκηση όπου εφαρμόζεται όμορφα ο μετασχηματισμός της ομοιότητας, της στροφής
και της ομοιοθεσίας...

Εργαζόμαστε στο πρώτο σχήμα:

Ομοιότητα 1.png (20.68 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

Στο σχήμα αυτό βλέπουμε το δοθέν τρίγωνο , την ευθεία επί της οποίας

κινείται το σημείο και το σταθερό σημείο .

Κατασκευάζουμε αρχικά το τρίγωνο όμοιο και ομόρροπο με το δοθέν .

Αυτό γίνεται ως εξής: Θεωρώ ότι:



Άρα

και

Από τις τιμές των (2) και (3) εύκολα κατασκευάστηκε το τρίγωνο

Στη συνέχεια εργαζόμαστε στο δεύτερο σχήμα:

Ομοιότητα 2.png (38.53 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται:

1ο) Μια παράλληλη μεταφορά του δοθέντος τριγώνου στη θέση .

2o) Μια ομοιοθεσία του τριγώνου με κέντρο το σημείο και λόγο



η οποία οδήγησε το τρίγωνο στη θέση .

3o) Μια επίπεδη στροφή με κέντρο το σημείο κατά την αρνητική φορά και κατά τη γνωστή γωνία:



η οποία οδήγησε το τρίγωνο στη θέση , η οποία είναι και η τελική ζητούμενη.

Γεωμετρικός τόπος:

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο εύκολα προκύπτει ότι :



Η γωνία αυτό δηλώνει ότι η ευθεία είναι ο ζητούμενος γ. τόπος και είναι η στροφή

της δοθείσης ευθείας κατά γωνία ίση με γύρω από το σταθερό σημείο

και κατά τη θετική φορά.

Σημείωση:
Με όμοιο τρόπο ελέγχεται το ερώτημα όταν έχουμε αντίστροφη ομοιότητα.

Κώστας Δόρτσιος

[panos1962]

Πιθανότατα να είναι γνωστό το πρόβλημα. Εάν ναι, παρακαλώ να διαγραφεί από τους διαχειριστές.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Δίνεται, επίσης, ευθεία ε και σημείο Α' εκτός της ευθείας ε.
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Γ', όπου Α'Β'Γ' τρίγωνο όμοιο με το ΑΒΓ (γωνία Α'Β'Γ' ίση με γωνία ΑΒΓ, γωνία Α'Γ'Β' ίση με γωνία ΑΓΒ) και το Β' να κείται επί της ευθείας ε.

.
Σχεδιάζουμε το τρίγωνο που είναι όμοιο με το δοθέν , και έχει τις δύο κορυφές του επί της δοθείσας ευθείας . Ο σχεδιασμός είναι απλός (υπόδειξη: Το ύψος του από το , δηλαδή η απόσταση του από την δοθείσα ευθεία και το ύψος από το του δοθέντος τριγώνου έχουν λόγο όσο ο λόγος ομοιότητας των δύο τριγώνων και , και λοιπά).

Παρατηρούμε τώρα ότι το είναι εγγράψιμμο αφού . Άρα (σταθερή). Αφού το σημείο είναι δοθέν (σταθερό) έπεται ότι το βρίσκεται επί σταθερής ευθείας που σχηματίζει δοθείσα γωνία με την . Με άλλα λόγια, ο ζητούμενος τόπος είναι η κόκκινη ευθεία.

Το αντίστροφο, άμεσο.
.

Όσον αφορά τον σχεδιασμό του τριγώνου Α'Β'Γ' που έχει τις κορυφές Β' και Γ' επί της δοθείσης ευθείας ε, υπάρχει και πιο απλός τρόπος κατασκευής: Μεταφέρουμε αρχικά με τον διαβήτη την πλευρά ΒΓ επί της ευθείας ε, σε τυχαία θέση, και έστω Β'' και Γ'' τα αντίστοιχα σημεία των Β και Γ επί της ε. Κάνουμε κύκλο με κέντρο Β'' και ακτίνα BA, και κύκλο με κέντρο Γ'' και ακτίνα ΓΑ. Έστω Α'' το σημείο τομής των δύο κύκλων προς την πλευρά του Α'. Το τρίγωνο Α''Β''Γ'' είναι ίσο με το αρχικό ΑΒΓ. Κατόπιν φέρουμε παράλληλες ευθείες από το A' προς τις Α''Β'' και Α''Γ'' που τέμνουν την ε στα σημεία Β' και Γ' αντίστοιχα, οπότε το Α'Β'Γ' είναι όμοιο προς το Α''Β''Γ'', επομένως και προς το αρχικό ΑΒΓ. Άρα το τρίγωνο Α'Β'Γ' είναι το ζητούμενο τρίγωνο, δηλαδή όμοιο προς το αρχικό και με τις Β' και Γ' να κείνται επί της ευθείας ε.