Μέγιστο και ελάχιστο ταυτόχρονα

KARKAR · #1

: Μέγιστο και ελάχιστο ταυτόχρονα.png (10.63 KiB) Προβλήθηκε 854 φορές

Ο κύκλος έχει εξίσωση : x^2+(y-r)^2=r^2

και η παραβολή : y=ax^2

. Βρείτε τη μέγιστη

τιμή του

, για την οποία οι δύο καμπύλες έχουν ένα μόνο κοινό σημείο . Στην περίπτωση αυτή :

Ευθεία διερχόμενη από το κέντρο

του κύκλου , τέμνει την παραβολή στα σημεία S,T

και τον κύκλο στα P,Q

. Βρείτε το ελάχιστο του SP+QT

και το μέγιστο του $SP\cdot QT$

sokpanvas · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 07, 2019 12:07 pm
Μέγιστο και ελάχιστο ταυτόχρονα.pngΟ κύκλος έχει εξίσωση : και η παραβολή : . Βρείτε τη μέγιστη

τιμή του , για την οποία οι δύο καμπύλες έχουν ένα μόνο κοινό σημείο . Στην περίπτωση αυτή :

Ευθεία διερχόμενη από το κέντρο του κύκλου , τέμνει την παραβολή στα σημεία

και τον κύκλο στα . Βρείτε το ελάχιστο του και το μέγιστο του $SP\cdot QT$

Θέλουμε το σύστημα $\begin{cases} x^2+(y-r)^2=r^2 \\ y=ax^2 \end{cases}$ να έχει μοναδική λύση
Αντικαθιστώντας το

στην αρχική παίρνουμε $x^2+(ax^2-r)^2=r^2 \Rightarrow x^2(a^2x^2-2ar+1)=0 \Rightarrow x=0$ ή a^2x^2-2ar+1=0

. Αν $a>\frac{1}{2r}$ τότε έχουμε δύο λύσεις άρα $a\leq \frac{1}{2r}$ . Οπότε η μέγιστη τιμή του

είναι το $\frac{1}{2r}$

Μάρκος Βασίλης · #3

Για το

να παρατηρήσουμε ότι κάθε ευθεία που διέρχεται από το

έχει τη μορφή (αγνοούμε τον άξονα y'y

):
$y=\lambda x+r,\ a\in\mathbb{R}.$
Τώρα, μία τέτοια ευθεία τέμνει την παραβολή $y=\frac{x^2}{2r}$ στα σημεία που προκύπτουν από τη λύση του συστήματος:
$\left\{\begin{array}{l} y=\lambda x+r\\ y=\frac{x^2}{2r} \end{array}\right.$
Εξισώσουμε τα δεξιά μέλη οπότε (χωρίς βλάβη της γενικότητας, r>0

):
$\displaystyle \lambda x+r=\frac{x^2}{2r}\Leftrightarrow x^2-2r\lambda x-2r^2=0\Leftrightarrow x=r\left(\lambda\pm\sqrt{\lambda^2+2}\right),$
και, αντίστοιχα:
$\displaystyle y=r\left(\lambda^2\pm\lambda\sqrt{\lambda^2+2}+1\right).$
Τώρα, παρατηρούμε ότι:
$(ST)+(PQ)=(ST)-2r=\sqrt{\left(2r\sqrt{\lambda^2+2}\right)^2+\left(2r\lambda\sqrt{\lambda^2+2}\right)^2}-2r=\\ ==\sqrt{4r^2(\lambda^2+2)(\lambda^2+1)}-2r=2r\sqrt{(\lambda^2+2)(\lambda^2+1)}-2r.$

Για να ελαχιστοποιήσουμε το παραπάνω, αρκεί να ελαχιστοποιήσουμε την υπόρριζη ποσότητα, δηλαδή το $(\lambda^2+2)(\lambda^2+1)$ , το οποίο, προφανώς, γίνεται ελάχιστο για $\lambda=0$ , δηλαδή το ελάχιστο $(SP)+(QT)=4r\sqrt{2}-2r=2r(2\sqrt{2}-1)$ .

Μέγιστο και ελάχιστο ταυτόχρονα

Μέγιστο και ελάχιστο ταυτόχρονα

Re: Μέγιστο και ελάχιστο ταυτόχρονα

Re: Μέγιστο και ελάχιστο ταυτόχρονα

Μέλη σε σύνδεση