Η μεγάλη στιγμή

KARKAR · #1

: Η μεγάλη στιγμή.png (7.05 KiB) Προβλήθηκε 828 φορές

Σε τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , "εγγράψαμε" το όμοια ορθογώνια OSTP

και

.

Ας προσπαθήσουμε να δείξουμε ότι : "Το άθροισμα των εμβαδών των δύο ορθογωνίων

μεγιστοποιείται όταν ο λόγος ομοιότητάς τους , ισούται με $\phi$ "

( χωρίς λύση )

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 12, 2023 9:49 am
Η μεγάλη στιγμή.pngΣε τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , "εγγράψαμε" το όμοια ορθογώνια και .

Ας προσπαθήσουμε να δείξουμε ότι : "Το άθροισμα των εμβαδών των δύο ορθογωνίων

μεγιστοποιείται όταν ο λόγος ομοιότητάς τους , ισούται με $\phi$ " ( χωρίς λύση )

Έστω

η ακτίνα του τεταρτοκυκλίου και

ο λόγος ομοιότητας των ορθογωνίων. Θέτω SL=b, LN=a,

οπότε

και $\displaystyle (OSTP) + (SLNK) = ab({k^2} + 1)$

: Η μεγάλη στιγμή.png (13.47 KiB) Προβλήθηκε 802 φορές

Με Π.Θ έχω $\displaystyle {k^2}{a^2} + {k^2}{b^2} = {R^2} = {(kb + b)^2} + {a^2}$ και παίρνω (λόγω φακέλου δεν κάνω τις πράξεις)

$\displaystyle {a^2} = \frac{{{R^2}(2k + 1)}}{{{k^3}(k + 2)}},{b^2} = \frac{{{R^2}({k^2} - 1)}}{{{k^3}(k + 2)}}$

Το άθροισμα των εμβαδών είναι $\displaystyle f(k) = \frac{{{R^2}\sqrt {(2k + 1)({k^2} - 1)} ({k^2} + 1)}}{{{k^3}(k + 2)}},$ όπου με τη βοήθεια

παραγώγων βρίσκω ότι παρουσιάζει για $\boxed{k=\Phi}$ μέγιστη τιμή ίση με $\boxed{f(\Phi ) = \frac{{{R^2}}}{\Phi }}$

KARKAR · #3

: Στιγμή β.png (12.47 KiB) Προβλήθηκε 760 φορές

Προφανώς πλέον κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης , το ζητούμενο εμβαδόν ισούται με την διαφορά

των εμβαδών των τετραγώνων (OLQP)-(KNQT)

. Αν :

, θα είναι : $LN=\dfrac{m}{\phi}$

και : $SL=\dfrac{m}{\phi^2}$ . Ένα ακόμη χαριτωμένο ερώτημα : Υπολογίστε ( την ίδια στιγμή ) την : $\tan\theta$ .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 12, 2023 7:45 pm
Στιγμή β.pngΠροφανώς πλέον κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης , το ζητούμενο εμβαδόν ισούται με την διαφορά

των εμβαδών των τετραγώνων . Αν : , θα είναι : $LN=\dfrac{m}{\phi}$

και : $SL=\dfrac{m}{\phi^2}$ . Ένα ακόμη χαριτωμένο ερώτημα : Υπολογίστε ( την ίδια στιγμή ) την : $\tan\theta$ .

Για τιμές των a, b

που βρήκα στην πρώτη μου ανάρτηση και για $k=\Phi$ είναι $\dfrac{a}{b}=\Phi.$

: Η μεγάλη στιγμή.β.png (15.35 KiB) Προβλήθηκε 708 φορές

Έτσι έχω, $\displaystyle \tan \omega = \Phi ,\tan \varphi = \frac{a}{{b(\Phi + 1)}} = \frac{1}{\Phi }$

$\displaystyle \tan \theta = \tan (\omega - \varphi ) = \dfrac{{\Phi - \dfrac{1}{\Phi }}}{{1 + \Phi \cdot \dfrac{1}{\Phi }}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta=\frac{1}{2}}$

Η μεγάλη στιγμή

Η μεγάλη στιγμή

Re: Η μεγάλη στιγμή

Re: Η μεγάλη στιγμή

Re: Η μεγάλη στιγμή

Μέλη σε σύνδεση