Ο ρόμβος ως ξεχωριστό περιγράψιμο τετράπλευρο

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2090
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Ο ρόμβος ως ξεχωριστό περιγράψιμο τετράπλευρο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Σάβ Οκτ 06, 2012 1:25 pm

vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο \vartriangle ABC με AB = AC και έστω M, το μέσον της πλευράς του BC. Με κέντρο το M γράφουμε τον κύκλο (M) ο οποίος εφάπτεται των πλευρών AB,\ AC, στα σημεία S,\ T, αντιστοίχως. Τυχούσα εφαπτομένη του κύκλου (M), τέμνει τις ευθείες AB,\ AC, στα σημεία έστω D,\ E, αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι (BD)(CE) = (MB)^{2} = (MC)^{2}.
f=62_t=31445(a).PNG
Ο ρόμβος ως ξεχωριστό περιγράψιμο τετράπλευρο - Θεώρημα Newton (b) - Απόδειξη του Λήμματος.
f=62_t=31445(a).PNG (24.16 KiB) Προβλήθηκε 1355 φορές
\bullet Έστω Z, το συμμετρικό σημείο του E ως προς την ευθεία AM και ισχύει προφανώς BZ = CE\ \ \ ,(1)

Από \angle DZM = \angle MEC λόγω συμμετρίας του σχήματος και \angle MEC = \angle DEM γιατί το M είναι το A-παράκεντρο του τριγώνου \vartriangle ADE, προκύπτει ότι \angle DZM = \angle DEM\ \ \ ,(2)

Από (2), συμπεραίνεται ότι το τετράπλευρο DMEZ είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω (K), ο οποίος εφάπτεται της πλευράς BC στο M, λόγω του ισοσκελούς τριγώνου \vartriangle MEZ και BC\perp MA\equiv MK, όπου K είναι το κέντρο του κύκλου (K).

Άρα, ισχύει (BD)(BZ) = (BM)^{2}\ \ \ ,(3)

Από (1),\ (3) \Longrightarrow (BD)(CE) = (MB)^{2} = (MC)^{2} και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.

\bullet Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται το Λήμμα, αν η εφαπτομένη του κύκλου (M) τέμνει τις προεκτάσεις των πλευρών του δοσμένου ισοσκελούς τριγώνου \vartriangle ABC.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ (14-09-2019) Δείτε Εδώ, μία άλλη απόδειξη του ως άνω Λήμματος από τον Γιώργο Βισβίκη.
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Σάβ Σεπ 14, 2019 11:47 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ο ρόμβος ως ξεχωριστό περιγράψιμο τετράπλευρο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Οκτ 09, 2012 1:23 am

Ποιες άλλες βασικές ιδιότητες (πλην της |OA|\cdot |OC|=|OB|\cdot |OD|) χαρακτηρίζουν τον αντιρόμβο, το περιγράψιμο δηλαδή τετράπλευρο ABCD στο οποίο έγκεντρο και βαρύκεντρο συμπίπτουν στο O (και το οποίο δεν έχει παράλληλες πλευρές); Στο συνημμένο δείχνω 'χωρίς λόγια' πως ο αντιρόμβος προκύπτει ως 'τομή' τεσσάρων (στην πραγματικότητα οκτώ) ρόμβων (AA'A''A''', BB'B''B''', CC'C''C''', DD'D''D'''):

Γιώργος Μπαλόγλου
Συνημμένα
οκτάρομβος.png
οκτάρομβος.png (22.2 KiB) Προβλήθηκε 1278 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ο ρόμβος ως ξεχωριστό περιγράψιμο τετράπλευρο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Οκτ 11, 2012 5:54 am

Είπα να το δω και λίγο υπολογιστικά το θέμα ... και έμπλεξα άσχημα :lol:

Ας πούμε λοιπόν ότι αναζητούμε έναν αντιρόμβο -- περιγράψιμο τετράπλευρο με ταυτιζόμενα έγκεντρο και βαρύκεντρο που δεν είναι ρόμβος -- που έχει ως δοθείσα κορυφή την A=(-3, 0), εγγεγραμμένο κύκλο τον x^2+y^2=1, και ως βαρύκεντρο/έγκεντρο το O=(0, 0). Αν οι άλλες κορυφές είναι οι B=(p, q), C=(s, t), D=(u, v), η βαρυκεντρική απαίτηση μας δίνει αμέσως s=3-p-u, t=-q-v. Τι μπορούμε να πούμε για τις υπόλοιπες κορυφές (και τα p, q, u, v), και πόσες/ποιές λύσεις υπάρχουν;

Στην προσέγγιση μου ζητώ να είναι ίσες προς 1 (ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου) οι αποστάσεις του O από τις AB, BC, CD, DA. Χρησιμοποιώντας τον τύπο εξίσωσης ευθείας διερχόμενης από δύο σημεία και τον τύπο απόστασης σημείου από ευθεία καταλήγουμε στις αντίστοιχες εξισώσεις

(p+3)^2=8q^2,

(-pv+(u-3)q)^2=(2q+v)^2+(3-2p-u)^2,

((p-3)v-uq)^2=(q+2v)^2+(3-p-2u)^2,

(u+3)^2=8v^2.

Ανάλογα με το αν θα χρησιμοποιήσουμε το + ή το - για τα q, v στις δύο ακριανές εξισώσεις, οι δύο μεσαίες εξισώσεις μας δίνουν τέσσερα συστήματα, που είναι στην πραγματικότητα δύο, και από τα οποία μόνο το ένα μας δίνει λύσεις: εδώ παραλείπω κάποιες λεπτομέρειες, αλλά το κρίσιμο σύστημα είναι (με q=\displaystyle\frac{p+3}{\sqrt{8}}, v=-\displaystyle\frac{u+3}{\sqrt{8}}) το

(p\cdot \displaystyle\frac{u+3}{\sqrt{8}}+(u-3)\cdot \displaystyle\frac{p+3}{\sqrt{8}})^2=(2\cdot \displaystyle\frac{p+3}{\sqrt{8}}-\displaystyle\frac{u+3}{\sqrt{8}})^2+(3-2p-u)^2

(-(p-3)\cdot \displaystyle\frac{u+3}{\sqrt{8}}-u\cdot \displaystyle\frac{p+3}{\sqrt{8}})^2=(-2\cdot \displaystyle\frac{u+3}{\sqrt{8}}+\displaystyle\frac{p+3}{\sqrt{8}})^2+(3-p-2u)^2.

Οι εκπλήξεις δεν σταματούν εδώ... Οι δύο παραπάνω εξισώσεις δίνουν, με την εξαίρεση κάποιων 'τετριμμένων' λύσεων -- παραλείπω και εδώ κάποιες λεπτομέρειες -- τις ίδιες ακριβώς λύσεις, αναγόμενες στις

p=-\displaystyle\frac{3u^2-16u+21}{u^2-9} και u=-\displaystyle\frac{3p^2-16p+21}{p^2-9},

αντίστοιχα: βεβαίως δεν είναι καθόλου προφανές -- ούτε καν σε μένα, προφανώς μου διαφεύγει κάτι -- ότι οι δύο εξισώσεις/τύποι δίνουν τις ίδιες λύσεις, αλλά είναι αληθές (και επαληθεύεται και με γραφήματα)!

Ως παράδειγμα επιλέγω p=0,2, οπότε u=2 (ή αντίστροφα), και, χάρις στους προηγηθέντες τύπους, q\approx 1,13, v\approx -1,76, s=0,8, t\approx 0,63: ο αντίστοιχος αντιρόμβος εικονίζεται στο συνημμένο (επαληθεύοντας πανηγυρικά τα παραπάνω) :D [Ισχύει και η μυστηριώδης |OA|\cdot |OC|=|OB|\cdot |OD|, καθώς 3\cdot 1,0182\approx 1,1475\cdot 2,6641\approx 3,057]

[Φυσικά τα περισσότερα τετράπλευρα που προκύπτουν από τις 'σχέσεις απόστασης' και τους 'δυϊκούς' μας τύπους δεν είναι καν κυρτά, φαίνεται όμως πως για κάθε p μεταξύ 0 και 1 προκύπτει ένας αντιρόμβος με εγγεγραμμένο κύκλο τον x^2+y^2=1, ενώ ο πολυτιμότατος και εντιμότατος ρόμβος (με μία κορυφή στο (-3, 0) και εγγεγραμμένο κύκλο τον x^2+y^2=1) προκύπτει από την τετριμμένη λύση p=u=0. (Πρέπει να σημειωθεί ότι για p=0 η u=-\displaystyle\frac{3p^2-16p+21}{p^2-9} δίνει u\approx 2,33 ... και έναν ακόμη αντιρόμβο με κορυφές (-3, 0), (0, 1,06), (0,67, 0,82), (2,33, -1,88) (κάτι που δεν πρέπει να μας εκπλήσσει, αφού αντιρόμβοι υπάρχουν και για κάποια αρνητικά p, πχ (-3, 0), (-0,1, 1,057), (0,583, 0,893), (2,517, -1,95) ... αλλά, τελικά, και για κάποια p>1, πχ (-3, 0), (2, 1,76), (0,8, -0,63), (0,2, -1,13) ;) )]

Γιώργος Μπαλόγλου
Συνημμένα
numerical-antirhombus.png
numerical-antirhombus.png (11.49 KiB) Προβλήθηκε 1228 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ο ρόμβος ως ξεχωριστό περιγράψιμο τετράπλευρο

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Δεκ 09, 2013 1:26 am

Απουσιάζει από την παραπάνω συζήτηση ο διασημότερος όλων των αντιρόμβων, το ισοσκελές τραπέζιο -- περιγεγραμμένο στον x^2+y^2=1 και με μία κορυφή την A=(-3,0) πάντοτε -- με κορυφές

A=(-3,0), B=(0, \displaystyle\frac{3}{2\sqrt{2}}), C=(\displaystyle\frac{2}{3}, \displaystyle\frac{7}{6\sqrt{2}}), D=(\displaystyle\frac{7}{3},-\displaystyle\frac{8}{3\sqrt{2}}),

που είναι βέβαια πολύ πολύ κοντά στον αντιρόμβο του αμέσως προηγούμενου σχήματος ;)

Το ισοσκελές αυτό τραπέζιο (με |AB|=|CD|=\displaystyle\frac{9}{2\sqrt{2}}) προκύπτει από τις σχέσεις συντεταγμένων της αμέσως προηγούμενης ανάρτησης,

A=(-3,0), B=(p,\displaystyle\frac{p+3}{2\sqrt{2}}), C=(\displaystyle\frac{-p^2+3p+2}{p+3},\displaystyle\frac{-p^2-6p+7}{2\sqrt{2}(p+3)}), D=(\displaystyle\frac{-3p+7}{p+3},-\displaystyle\frac{8}{\sqrt{2}(p+3)}}),

και από την απαίτηση AD//BC, που οδηγεί στην p(p+3)=0 και στην p=0. (Ένα ακόμη τραπέζιο, 'συμμετρικό' του πρώτου, προκύπτει από την AB//CD, που δίνει p=\displaystyle\frac{7}{3}, κλπ.)

[Αναφέρω επίσης ότι ο παραπάνω αντιρόμβος υπάρχει για όλα τα p στο (-\displaystyle\frac{1}{3}, 3), και μόνον γι αυτά: αυτό προκύπτει από την παρατήρηση ότι οι εφαπτόμενες από το A=(-3,0) εφάπτονται του x^2+y^2=1 στα (-\displaystyle\frac{1}{3}, \pm \displaystyle\frac{4}{3\sqrt{2}}), οφείλουν συνεπώς να ισχύουν οι ανισότητες

p>-\displaystyle\frac{1}{3},

\displaystyle\frac{-p^2+3p+2}{p+3}>-\frac{1}{3}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{5-2\sqrt{13}}{3}<p<\frac{5+2\sqrt{13}}{3},

\displaystyle\frac{-3p+7}{p+3}>-\frac{1}{3}\Leftrightarrow p<3.]

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 9-12-13 2:30 μμ: η παραπάνω σχέση (p=0) απλά επαληθεύει γνωστή και εύκολα αποδείξιμη ιδιότητα (OA\perp OB) που ισχύει σε κάθε περιγράψιμο τραπέζιο -- ευχαριστώ τον Γιώργο Βισβίκη για την σχετική υπόδειξη.

Γιώργος Μπαλόγλου


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης