"Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"

#1

Μοιράζομαι μαζί σας ένα άρθρο μου που θα δημοσιευθεί, εκτός απροόπτου, στα Πρακτικά της 4ης Μαθηματικής Εβδομάδας (Θεσσαλονίκη, 7-11 Μαρτίου 2012): αντικείμενο του το εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ('προέλευση' και εφαρμογές), ένα θέμα συνήθως πανεπιστημιακού επιπέδου, που θα έπρεπε όμως να είναι προσιτό (μέσα από το συνημμένο άρθρο τουλάχιστον) και σε καθηγητές Λυκείου, ακόμη και σε μαθητές που έχουν κατανοήσει σε βάθος την ύλη της Β' Λυκείου (θα έλεγα). Το άρθρο βρίσκεται σε λίγο-πολύ τελική μορφή, υπάρχει όμως χρόνος για μικροαλλαγές και τα όποια σχόλια σας θα ήταν ευπρόσδεκτα. (Υπάρχουν ήδη αναφορές σε διάφορες συζητήσεις του

!)

Γιώργος Μπαλόγλου

S.E.Louridas · #2

Κατ' αρχάς φίλε Γιώργο Καλημέρα, Χρόνια πολλά και Καλή Χρονιά.
Απλά να σε πληροφορήσω, επ' ευκαιρία της Άριστης (αναμενόμενο) πάνω εργασίας σου, ότι ημέτερη απόδειξη του Θεωρήματος του Καραθεοδωρή, υπάρχει σε άρθρο μου κάτω από τον τίτλο: "Η ευθεία του Euler, μια συναρτησιακή σχέση και το θεώρημα του Καραθεοδωρή" στη στήλη: Βήμα του Ευκλείδη και στο τεύχος 70 Του «Ευκλείδη Β΄» - Οκτώβριος-Νοέμβριος-Δεκέμβριος 2008 και στην σελίδα 63.

(*) Μία επισήμανση γιά το θέμα το εντός του συνημμένου:
Το "βελάκι" πάνω από το μηδενικό διάνυσμα στο δεύτερο μέλος της προς απόδειξη ισότητας ενώ υπάρχει στο άρθρο εδώ αποτυπώθηκε ως "παύλα".

#3

Φίλτατε Σωτήρη ανταποδίδω τις ευχές και σε συγχαίρω για την πολύ έξυπνη και απλή απόδειξη σου, στην οποία σίγουρα θα παραπέμψω στην τελικότατη παραλλαγή του άρθρου μου!

[Το άρθρο σου δημοσιεύτηκε ακριβώς όταν επέστρεφα από τις ΗΠΑ (Οκτώβριος 2008) και δεν το βρίσκω (στην βιβλιοθήκη του πατέρα μου) προς το παρόν, αλλά θα το αναζητήσω. Αντιλαμβάνομαι ότι αποτελείται από τρία διαφορετικά, μη συνδεόμενα μέρη. Το τρίτο ("Θεώρημα ή Σχέση του Καραθεοδωρή") είναι αυτό που μας ενδιαφέρει, όχι μόνο όσον αφορά την απόδειξη του αλλά και το ίδιο του το όνομα (βλέπε σχόλιο του διάσημου μαθηματικού John Horton Conway εδώ) και την υπόλοιπη ιστορία του (θέμα της πρώτης Ελληνικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας το 1985).]

Γιώργος Μπαλόγλου

#4

gbaloglou έγραψε:Το τρίτο ("Θεώρημα ή Σχέση του Καραθεοδωρή") είναι αυτό που μας ενδιαφέρει, όχι μόνο όσον αφορά την απόδειξη του αλλά και το ίδιο του το όνομα (βλέπε σχόλιο του διάσημου μαθηματικού John Horton Conway εδώ) και την υπόλοιπη ιστορία του (θέμα της πρώτης Ελληνικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας το 1985).

Όπως βλέπω εδώ (1ο θέμα Γ' Λυκείου 1985) η 'βάπτιση' του παραπάνω θεωρήματος έλαβε χώρα τουλάχιστον 15 χρόνια πριν εκδοθεί το βιβλίο του Ευάγγελου Σπανδάγου για τον Καραθεοδωρή -- όποιος τυχόν γνωρίζει περισσότερα ας μας διαφωτίσει

Γιώργος Μπαλόγλου

S.E.Louridas · #5

Αν θυμάμαι καλά και θεωρώ ότι θυμάμαι, το θέμα αυτό το είχε προτείνει για πρώτη φορά σε Ελληνικό Διαγωνισμό και κάτω από τον τίτλο «Θεώρημα του Καραθεοδωρή» ο Δημήτρης Κοντογιάννης.

#6

Μόλις αντικατέστησα το αρχικό συνημμένο με την τελική μορφή του άρθρου: έγιναν διάφορες μικροαλλαγές και μικροδιορθώσεις (με πιο σημαντική αυτή κάποιων προσήμων στην 'Σχέση Καραθεοδωρή') -- τα σχόλια σας είναι πάντα ευπρόσδεκτα, αν και δεν υπάρχει πλέον χρόνος για αλλαγές ή διορθώσεις!

Γιώργος Μπαλόγλου

#7

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 14, 2013 1:07 pm
Μόλις αντικατέστησα το αρχικό συνημμένο με την τελική μορφή του άρθρου: έγιναν διάφορες μικροαλλαγές και μικροδιορθώσεις (με πιο σημαντική αυτή κάποιων προσήμων στην 'Σχέση Καραθεοδωρή') -- τα σχόλια σας είναι πάντα ευπρόσδεκτα, αν και δεν υπάρχει πλέον χρόνος για αλλαγές ή διορθώσεις!

Γιώργος Μπαλόγλου

Είναι λίγο αργά, αλλά έψαχνα κάτι άλλο και έπεσα πάνω του. Δεν δουλεύει το link του Conway οπότε μπορεί και αυτός να έλεγε τα ίδια.
Εξηγώ λίγο γιατί αυτή η σχέση ονομάζεται "Καραθεοδωρή".

Το θεώρημα του Καραθεοδωρή (εδώ είναι το γενικό) https://en.wikipedia.org/wiki/Carathéod ... nvex_hull)
λέει ότι κάθε σημείο στο εσωτερικό ενός τριγώνου είναι ο κυρτός συνδυασμός των κορυφών του τριγώνου.
Στην περίπτωσή μας λοιπόν το σημείο

μπορεί να γραφεί σαν κυρτός συνδυασμός των κορυφών

,

.
Αν θεωρήσουμε την αρχή στο

, σημαίνει ότι το μηδενικό διάνυσμα είναι κυρτός συνδυασμός των $\vec{OA}$ , $\vec{OB}$ , $\vec{OC}$ .
Οπότε υπάρχουν s_1, s_2, s_3

με

ώστε $s_1\vec{OA}+s_2\vec{OB}+s_3\vec{OC}=\vec{0}$ .
Τώρα τα s_1, s_2, s_3

υπολογίζονται και είναι βαρυκεντρικές (ή area coordinates). http://mathworld.wolfram.com/Barycentri ... nates.html
Έτσι προκύπτει η σχέση του άρθρου.

#8

silouan έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 04, 2020 7:51 pm

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 14, 2013 1:07 pm
Μόλις αντικατέστησα το αρχικό συνημμένο με την τελική μορφή του άρθρου: έγιναν διάφορες μικροαλλαγές και μικροδιορθώσεις (με πιο σημαντική αυτή κάποιων προσήμων στην 'Σχέση Καραθεοδωρή') -- τα σχόλια σας είναι πάντα ευπρόσδεκτα, αν και δεν υπάρχει πλέον χρόνος για αλλαγές ή διορθώσεις!

Γιώργος Μπαλόγλου
Είναι λίγο αργά, αλλά έψαχνα κάτι άλλο και έπεσα πάνω του. Δεν δουλεύει το link του Conway οπότε μπορεί και αυτός να έλεγε τα ίδια.
Εξηγώ λίγο γιατί αυτή η σχέση ονομάζεται "Καραθεοδωρή".

Το θεώρημα του Καραθεοδωρή (εδώ είναι το γενικό) https://en.wikipedia.org/wiki/Carathéod ... nvex_hull)
λέει ότι κάθε σημείο στο εσωτερικό ενός τριγώνου είναι ο κυρτός συνδυασμός των κορυφών του τριγώνου.
Στην περίπτωσή μας λοιπόν το σημείο μπορεί να γραφεί σαν κυρτός συνδυασμός των κορυφών , , .
Αν θεωρήσουμε την αρχή στο , σημαίνει ότι το μηδενικό διάνυσμα είναι κυρτός συνδυασμός των $\vec{OA}$ , $\vec{OB}$ , $\vec{OC}$ .
Οπότε υπάρχουν με ώστε $s_1\vec{OA}+s_2\vec{OB}+s_3\vec{OC}=\vec{0}$ .
Τώρα τα υπολογίζονται και είναι βαρυκεντρικές (ή area coordinates). http://mathworld.wolfram.com/Barycentri ... nates.html
Έτσι προκύπτει η σχέση του άρθρου.

Σιλουανέ σ' ευχαριστούμε, παραθέτω στο συνημμένο τι ακριβώς έγραψε ο Conway (απαντώντας στον Ανδρέα Χατζηπολάκη) πριν 20 χρόνια: όχι ακριβώς τα ίδια, εσύ ήσουν πιο ουσιαστικός -- to the point, που λέμε!

: conway-caratheodory.png (77.93 KiB) Προβλήθηκε 1389 φορές

#9

Ας κάνουμε λεπτομερέστερα την σύνδεση:

(Ι) Το πραγματικό Θεώρημα Καραθεοδωρή (ή μάλλον μια πολύ ειδική περίπτωση του), όπως μας το αποκάλυψε προχθές ο Σιλουανός (#7), λέει ότι για κάθε σημείο

εντός τριγώνου $AB\Gamma$ το διάνυσμα $\vec{OK}$ μπορεί να γραφεί ως $\lambda_1 \vec{OA}+\lambda_2 \vec{OB}+\lambda_3 \vec{O\Gamma}$ , όπου

η αρχή των αξόνων και $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1.$

(ΙΙ) Αυτό που στην Ελλάδα γνωρίζαμε ως "Θεώρημα Καραθεοδωρή" λέει ότι για κάθε σημείο

εντός τριγώνου $AB\Gamma$ ισχύει η ισότητα $(KB\Gamma)\cdot \vec{KA}+(KA\Gamma)\cdot \vec{KB}+(KAB)\cdot \vec{K\Gamma}=0$ .

Παρατηρούμε ότι το (ΙΙ) συνεπάγεται το (Ι) με $K \equiv O$ -- κάτι που δεν συνιστά περιορισμό της γενικότητας -- και

$\lambda_1=\dfrac{(KB\Gamma)}{(AB\Gamma)}$ , $\lambda_2=\dfrac{(KA\Gamma)}{(AB\Gamma)}$ , $\lambda_3=\dfrac{(KAB)}{(AB\Gamma)}$ .

'Αντίστροφα' τώρα, πάλι με $K \equiv O$ αλλά και A=(a_1,a_2)

,

, $\Gamma=(c_1,c_2)$ , βλέπουμε ότι η ισότητα (Ι)

$\vec{OK}=\lambda_1 \vec{OA}+\lambda_2 \vec{OB}+\lambda_3 \vec{O\Gamma}$

γράφεται ως

$0=\lambda_1 <a_1,a_2>+\lambda_2 <b_1,b_2>+\lambda_3 <c_1,c_2>,$

που δίνει ένα αόριστο γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων και τριών μεταβλητών, με λύσεις της μορφής

$\lambda_1=\dfrac{a_2b_3-a_3b_2}{a_1b_2-a_2b_1}\lambda_3$ , $\lambda_2=\dfrac{a_3b_1-a_1b_3}{a_1b_2-a_2b_1}\lambda_3.$

Επιλέγοντας $\lambda_3=a_1b_2-a_2b_1$ και ανακαλώντας -- όχι αναγκαστικά μέσω εξωτερικού γινομένου διανυσμάτων -- τις ισότητες εμβαδών-οριζουσών

$(KB\Gamma)=\dfrac{a_2b_3-a_3b_2}{2}$ , $(KA\Gamma)=\dfrac{a_1b_3-a_3b_1}{2}$ , $(KAB)=\dfrac{a_1b_2-a_2b_1}{2},$

καταλήγουμε στην (ΙΙ).

(Ορθότερα θα έπρεπε να είχαμε επιλέξει $\lambda_3=\dfrac{a_1b_2-a_2b_1}{2(AB\Gamma)}.)$

#10

Ωραία και σημαντικά τα της προηγούμενης δημοσίευσης (#9), αλλά πολύ μου αρέσει και η γεωμετρικότερη προσέγγιση του Σωτήρη (#2), στην οποία μάλιστα προτείνω και ένα εναλλακτικό τελείωμα που αποφεύγει το κατά τα άλλα πολύ έξυπνο τέχνασμα της χρήσης δύο διαφορετικών διευθύνσεων:

Παρατηρούμε -- βλέπε συνημμένο -- ότι $(KB\Gamma)\cdot \vec{KA}=-[(KA\Gamma)+(KAB)] \vec{K\Delta}$ λόγω της $\dfrac{(KA\Gamma)}{(K \Gamma \Delta)}= \dfrac{(KAB)}{(KB\Delta)}= \dfrac{|KA|}{|K\Delta|}$ .

Σωτήρη σ' ευχαριστώ και πάλι για την τότε (2013) παρέμβαση σου, επισημαίνοντας και δύο τυπογραφικά: $A_\eta$ αντί A_n

(του εκδότη) και $B_\theta$ αντί $A_\theta$ (δικό σου)

: Καραθεοδωρή-Λουρίδα.png (319.88 KiB) Προβλήθηκε 1370 φορές

#11

Πολύ ωραία, Γιώργο!

Να σημειώσω εδώ δύο ακόμη πράγματα.

1) Τα παραπάνω ισχύουν γενικά για simplex στον $\mathbb{R}^n$ .
2) Το θεώρημα Καραθεοδωρή ισχύει προφανώς και για τα κανονικά πολύγωνα (για παράδειγμα), αλλά εκεί ο υπολογισμός των συντελεστών γίνεται αρκετά δυσκολότερος.

"Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"

"Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"

Re: "Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"

Re: "Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"

Re: "Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"

Re: "Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"

Re: "Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"

Re: "Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"

Re: "Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"

Re: "Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"

Re: "Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"

Re: "Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"

Μέλη σε σύνδεση