Bulletin Λυμένες Γεωμετρίας με 7+ τρόπους

[parmenides51]

Αποφάσισα να συγκεντρώσω σε μια δημοσίευση όσες ασκήσεις Γεωμετρίας περιέχουν τουλάχιστον 7 λύσεις (με κάθε τρόπο). Σχετικά εδώ.
Οι παραπομπές αυτών συνήθως περιέχουν κι άλλες λύσεις που προστίθενται στο σύνολο των λύσεων.
Τα κόκκινα γράμματα αφορούν τα ''βρείτε'' του Μιχάλη Νάννου,
τα πράσινα γράμματα αφορούν τα ''γεωμετρείν'' του Δημήτρη Μυρογιάννη,
τέλος η μπλε αρίθμηση αφορά την συλλογή που ετοιμάζω.

Σύνολο Ασκήσεων: 112


6 λύσεις έχουμε, άλλη μια ψάχνουμε για να γίνουν 7
παιχνίδι με τις γωνίες από Χρήστο Κυριαζή
3 ασκήσεις από Απολώνιο by lonis (άσκηση 2α) από Γιώργο Ρίζο
βρείτε τη γωνία χ 39 από Μιχάλη Νάννο
ορθογώνιο , καθετότητα , εμβαδόν από Παναγιώτη Γιαννόπουλο
βρείτε τη γωνία x 71 - ηλεκτρο από Μιχάλη Νάννο
κλασική Ευκλείδεια από Σωτήρη Σκοτίδα
γεωμετρείν 45 από Δημήτρη Μυρογιάννη
ας χορδίσουμε ... από KARKAR
σχεδόν πάντα μεγαλύτερο από KARKAR
βρείτε την πλευρά (29) από Μιχάλη Νάννο
καθετότητα από Σωκράτη Λύρα
υπολογισμός γωνίας από Δημήτρη Ιωάννου
βρείτε την πλευρά (33) από Μιχάλη Νάννο
βρείτε την πλευρά (34) από Μιχάλη Νάννο
γεωμετρείν 77 από Δημήτρη Μυρογιάννη
γεωμετρείν 85 από Δημήτρη Μυρογιάννη
γεωμετρείν 86 από Δημήτρη Μυρογιάννη
δια μέσων από KARKAR
συνευθειακά μέσα από KARKAR
τετράγωνο, ισότητα, τομές, συνευθειακά... από Antonis_Z
συνευθειακά σημεία σε τετράγωνο από Grigoris K.
λόγος εμβαδών σε ισόπλευρο από KARKAR
εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου από polysindos
ισότητα και καθετότητα από Νίκο Φραγκάκη
καλός λόγος από KARKAR
ημικύκλιο, τεταρτοκύκλιο και διχοτομία από Κώστα Βήττα
τύπος για εμβαδόν από KARKAR
η μια (επαφή) φέρνει την άλλη από Νίκο Φραγκάκη
διπλή τριχοτόμηση από Νίκο Φραγκάκη
ισεμβαδικά από KARKAR
τμηματάκι από KARKAR
γωνία λόγω εμβαδών από KARKAR
ισότητα από ισογώνιες από KARKAR
μήκος πλευράς από BRAHMA
ορθογώνιο σε τετράγωνο από KARKAR
ισοσκελές από erxmer


Xρησιμοποιούνται οι Φάκελοι: (μέχρι 01-05-2013)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΑΣΕΠ: Προτεινόμενα Θέματα,
Ασκήσεις Μόνο για Μαθητές
Α', Β', Γ' Γυμνασίου
Θέματα Διαγωνισμών ΕΜΕ
Γενικά Θέματα
Γεωμετρία Α΄ Λυκείου
Γεωμετρία Β΄ Λυκείου
Γεωμετρία Juniors
Γεωμετρία Seniors
Φάκελος του Καθηγητή: Γενικά
Φάκελος του Καθηγητή: Γεωμετρία
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄Λυκείου

Tα πρωτεία τα έχουν οι εξής:
01 αναζητείται η ... απόδειξη κλασικής πρότασης από Νίκο Κυριαζή
(Τα ύψη κάθε τριγώνου συντρέχουν)
02 αναζητείται το ... κριτήριο του χρυσού ορθογωνίου τριγώνου από Νίκο Κυριαζή
(Κάθε ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου, η μεγάλη κάθετη πλευρά είναι μέση ανάλογος των δύο άλλων πλευρών του, χαρακτηρίζεται σαν «χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο».)
03 άσκηση σχολικού βιβλίου (σελ.186 σύνθετα 5)
(Θεωρούμε κύκλο διάμετρό του και μία χορδή του που τέμνει την στο και σχηματίζει με αυτή γωνία Να αποδείξετε ότι )
04 είναι ορθή (σε τετράγωνο μέσο πλευράς και ένα τέταρτο διαγωνίου) από Νίκο Φραγκάκη
(Σε τετράγωνο το είναι μέσο της πλευράς και το σημείο της διαγωνίου , τέτοιο ώστε, .Να δειχθεί ότι η γωνία είναι ορθή.)

Ασκήσεις με γωνίες
ισοσκελές ,
(Σε ισοσκελές τρίγωνο με , παίρνουμε σημείο στην προέκταση της τέτοιο ώστε . Υπολογίστε τη γωνία .)
ισοσκελές , (γεωμετρείν 50)
(Σε ισοσκελές τρίγωνο με , παίρνουμε σημείο ώστε και το σημείο ώστε . Να υπολογίσετε την .)
ισοσκελές , (μια εργασία εδώ)
(Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο και γωνία . Πάνω στην πλευρά θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε και πάνω στην πλευρά θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε . Να βρεθεί η γωνία .)
ισοσκελές , (γεωμετρείν 35)
(Σε ισοσκελές τρίγωνο με , παίρνουμε σημείο στην προέκταση της τέτοιο ώστε . Υπολογίστε τη γωνία .)
ισοσκελές ,
(Σε ισοσκελές τρίγωνο θεωρούμε τα σημεία της μεγαλύτερης πλευράς , τέτοια ώστε:
. να δειχθεί ότι : )
τρίγωνο νδο
(Σε τρίγωνο : , νδο )
τρίγωνο , ζητείται γωνία μεταξύ των ιχνών των διχοτόμων του
(Σε τρίγωνο με φέρνουμε τις διχοτόμους των γωνιών του.Να υπολογίσετε την γωνία .)
τρίγωνο ,
(Σε τρίγωνο : , . Στην προέκταση της πλευράς προς το παίρνουμε τμήμα . Να υπολογίσετε τη γωνία .)
τρίγωνο ,
(Σε τρίγωνο είναι . Στην πλευρά παίρνουμε σημείο , τέτοιο ώστε . Να υπολογίσετε τη γωνία )
τρίγωνο , (γεωμετρείν 26)
(Σε τρίγωνο είναι και .Αν είναι ύψος και διάμεσος του, να δείξετε ότι .)
εναλλακτική εκφώνηση:
(Σε ένα τρίγωνο η είναι και η είναι . Αν είναι το μέσο του , να βρεθεί η .)
τρίγωνο από Μπάμπη Στεργίου (Ρουμανία - 2005)
(Σε ένα τρίγωνο η γωνία είναι και η γωνία μοίρες. Φέρνουμε το ύψος και στην πλευρά παίρνουμε σημείο τέτοιο, ώστε η γωνία να είναι ίση με μοίρες. Να αποδειχθεί ότι : α) η είναι παράλληλη με την , β) Αν η κάθετη προς την στο τέμνει την ευθεία στο , τότε και η γωνία είναι ίση με μοίρες.)
τρίγωνο από Μιχάλη Νάννο
(Στο ορθογώνιο τρίγωνο με , δείξτε ότι η γωνία ) (βρείτε τη γωνία χ 22)
από Βραζιλία (εντός τετράπλευρου ) από Λεωνίδα Θαρραλίδη (15η Βραζιλιάνικης Μαθηματικής Ολυμπιάδας, 1993)
(Το είναι ένα κυρτό τετράπλευρο με , , και . Αν οι διαγώνιές του τέμνονται στο , να δειχτεί ότι: .)
εντός τετράπλευρου από Δημήτρη Μυρογιάννη (γεωμετρείν 88)
(Έστω τετράπλευρο και οι διαγώνιές του Αν οι γωνίες έχουν μέτρο αντίστοιχα, βρείτε το μέτρο της γωνίας )
διάμεσος σε αμβλυγώνιο τρίγωνο από Μιχάλη Νάννο (βρείτε τη γωνία x 76)
(Σε τρίγωνο με αμβλεία, φέρω τη διάμεσο . Αν ισχύει, βρείτε τη γωνία .)
ορθογώνιο τρίγωνο από KARKAR
(Στο ορθογώνιο τρίγωνο ()με σημείο της είναι : , , . Βρείτε το μέτρο της γωνίας .)
Βιτάλη - Γέλων ( τρίγωνο ) από Γιώργο Μήτσιο
(Σε τρίγωνο με και . Το είναι σημείο της τέτοιο ώστε και . Να βρεθούν τα μέτρα των γωνιών και .)
ισόπλευρο εντός τετράγωνου από γωνίες
(Δίνεται τετράγωνο ABCD}\displaystyle{O}\displaystyle{OCD}\displaystyle{ODC}\displaystyle{15}\displaystyle{OAB}[unparseable or potentially dangerous latex formula]ABCBCAB=3ACABD,EAD=DE=EBDCEB[unparseable or potentially dangerous latex formula]AB\varGamma\varDeltaBEZ\varGammaEH\Theta{Z}\displaystyle{K}\displaystyle{AZ,\DeltaH}\widehat{AK\varDelta}=45^{\circ}\displaystyle{45^o}\displaystyle{ABB_1 A_1 ,B\Gamma \Gamma _1 {\rm B}_1 ,\Gamma \Delta \Delta _1 \Gamma _1 }\displaystyle{A\widehat\Gamma {\rm A}_1 + {\rm A}\widehat\Delta {\rm A}_1 = 45^0 }\displaystyle{ABC}\displaystyle{\widehat{\rm A} = {90^0}}\displaystyle{AC=3AB}\displaystyle{AC}\displaystyle{D}\displaystyle{E}\displaystyle{AD = DE = EC}\displaystyle{\widehat{{\rm B}{\rm E}{\rm A}} + \widehat{{\rm B}\Gamma {\rm A}} = {45^0}}\displaystyle{45^o}BEZC\displaystyle{a,2a}ABCD\displaystyle{a}\displaystyle{M}\displaystyle{EZ}\phi+\theta=\widehat{BZE}+\widehat{MAE}\displaystyle ABC\widehat{A}=2\widehat{C}\Rightarrow a^2= c^2+bc\Gamma \widehat{\rm A}\Delta = {10^ \circ }{\rm B}\widehat{\rm A}\Delta = {30^ \circ }\displaystyle{AB=AC}\displaystyle{AD=BC}{\rm A}\widehat\Gamma \Delta = x\displaystyle{ABC}\displaystyle{ \widehat{CDE} = {90^o }\displaystyle{AD = BE}\displaystyle{\widehat{ACD} = x}\displaystyle{ABCD}\displaystyle{1}\displaystyle{E,Z}\displaystyle{AD}\displaystyle{AB}\displaystyle{AE+EZ+ZA=2}\displaystyle{x =\widehat {ECZ}}AB,BCD,EC\widehat DE = {30^ \circ }EB = 2ADx = D\widehat CBABCDE,ZBC,CDBE = 21,\,ZC = 24ZD = 4x = Z\widehat AE\displaystyle{ABCD}\displaystyle{AB}\displaystyle{C}\displaystyle{CD}\displaystyle{E}\displaystyle{ED = 3\sqrt 2}[unparseable or potentially dangerous latex formula]AB,BCD,ECD = AE = 7A\widehat KC = {90^ \circ }\,(K \equiv CD \cap AE)AK = 4,\,KC = 5\left( {DBE} \right)ABKF,CAC,AFAEEAK=AEEEGAFABCA .ACDCBDDBABCEBDE, ACBDE=2 DA .\;ABCAM\;AB .\;ABC\;DBC .DM=BC\frac{BC}{AC}=m \in R\;\;,\frac{(DBC)}{(ABC)}=\frac{m^2}{4} .\displaystyle{{\mu _\alpha },{\mu _\beta }}\displaystyle{{\mu _\gamma }}\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }\displaystyle{{\rm E} = \frac{3}{4} \cdot {{\rm E}_{{\rm A}{\rm B}\Gamma }}}\displaystyle{AB}\displaystyle{CD}\displaystyle{AB=15 \, , \,BC = 12\, , \, CD = 30}\displaystyle{DA = 9}[unparseable or potentially dangerous latex formula]\displaystyle{ \overset{\frown}{ST}}\displaystyle{ s}\displaystyle{s<\frac{\pi R}{2}}\displaystyle{\overset{\frown}{AB} }\displaystyle{OAB}\displaystyle{SD}\displaystyle{TE}\displaystyle{OA}\displaystyle{SZ}\displaystyle{TH}\displaystyle{OB}\displaystyle{ST}[unparseable or potentially dangerous latex formula]\displaystyle{E_{1}+E_{2}+2E_{3}}\displaystyle{E_{1}, E_{2}, E_{3}}[unparseable or potentially dangerous latex formula]\displaystyle \frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}\displaystyle \frac{(SAD)}{(ABC)}ABCDM,NAB , BCSMD\displaystyle (DSNC)=\frac{1}{2}(ABCD)ABCDO\displaystyle\left( {AOCD} \right) = \frac{{\left( {ABCD} \right)}}{2}\displaystyle{AB\Gamma \Delta }\displaystyle{O}\displaystyle{
A\Delta ,\,B\Gamma }\displaystyle{K,\,\Lambda }\displaystyle{(OK\Lambda ) = 8}\displaystyle{(AB\Gamma \Delta )}ABCD,EAB, ACF, GD,EBCM, NBE, CDAMNMNGFBA , BC\displaystyle ABCM , N\displaystyle BM=\frac{1}{2}BA \; , BN=\frac{1}{3}BCAN , CMS\displaystyle (MSN)=\frac{1}{15}(ABC)[unparseable or potentially dangerous latex formula]\displaystyle{ABC}\displaystyle{BC}\displaystyle{M}\angle ABM = \angle MCB = 30\displaystyle{M}[unparseable or potentially dangerous latex formula]\displaystyle{ABC}\displaystyle{M}\displaystyle{AB}\displaystyle{D}\displaystyle{M}\displaystyle{AC}\displaystyle{N}\displaystyle{MD}\displaystyle{BD , CN}[unparseable or potentially dangerous latex formula]\displaystyle{M}\displaystyle{BC}\displaystyle{ABCD}\displaystyle{AC}\displaystyle{DM}\displaystyle{E}\displaystyle{Z}\displaystyle{C}\displaystyle{DM}\displaystyle{CZ = 3ZE}[unparseable or potentially dangerous latex formula]\displaystyle{ABC}\displaystyle{AB=AC}\displaystyle{O}\displaystyle{H}\displaystyle{(B,H,O)}\displaystyle{AB}[unparseable or potentially dangerous latex formula]\displaystyle{ABC}\displaystyle{D}\displaystyle{E}\displaystyle{A}\displaystyle{B}\displaystyle{C}\displaystyle{DE // BC}\displaystyle{DE}\displaystyle{ABC}\displaystyle{ABCD}\displaystyle{E,Z}\displaystyle{AD,AB}\displaystyle{H}\displaystyle{EZ,AC}\displaystyle{AEZ}\displaystyle{15}\displaystyle{AH = 1}\displaystyle{\frac{1}{{AE}} + \frac{1}{{AZ}}}\displaystyle{15^o}\displaystyle{ABC}\displaystyle{B={90^ \circ }}\displaystyle{AD=CD=4 \, cm}\displaystyle{\widehat{B AD} =\widehat{BGE} = {15^ o}}\displaystyle{Z,H}\displaystyle{AD, CE}\displaystyle{ZH}BD=CE,\angle BAD=\angle EACBC\triangle ABCD,EBD=CE\angle BAD=\angle EAC\triangle ABC[unparseable or potentially dangerous latex formula]\displaystyle{AB}\displaystyle{ABCD}\displaystyle{M}\displaystyle{AM=2MB}\displaystyle{CM}\displaystyle{BD}\displaystyle{O}\displaystyle{BD}\displaystyle{MOC}[unparseable or potentially dangerous latex formula]\displaystyle{ABC}\displaystyle{A}\displaystyle{M}\displaystyle{AB, D}\displaystyle{A}\displaystyle{CM}\displaystyle{N}\displaystyle{DC}\displaystyle{ BD}\displaystyle{AN}\displaystyle{4}\displaystyle{1}AB[unparseable or potentially dangerous latex formula]\displaystyle{(O,\rho)}\displaystyle{A}\displaystyle{P}\displaystyle{P}\displaystyle{PBC}\displaystyle{P}\displaystyle{AB}\displaystyle{AC}\displaystyle{AC}\displaystyle{AB}\displaystyle{M}\displaystyle{N}\displaystyle{MN}\displaystyle{PO}[unparseable or potentially dangerous latex formula]AB\varGamma\hat{A}=2\hat{B}A\varDelta\varGammaA\varDeltaE.B\varGamma=2AE.\displaystyle{ABCD}\displaystyle{BE}\displaystyle{AC}\displaystyle{M}\displaystyle{N}\displaystyle{AE}\displaystyle{DC}\displaystyle{NM}\displaystyle{MB}[unparseable or potentially dangerous latex formula]AB\varGamma\hat{\rm A}=90^0A\varDeltaBEZ.E\varGamma = 2Z\varDelta.OA,CABCAB,BCK,NABC,KBNBM\widehat{OMB}=90^o[unparseable or potentially dangerous latex formula]{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta{\rm A}{\rm B}{\rm B}{\rm B}{\rm A}{\rm E}{\rm Z}{\rm B}{\rm E}\Delta \widehat {\rm A}{\rm Z} = {\rm Z}\widehat {\rm A}{\rm E}[unparseable or potentially dangerous latex formula]\displaystyle{BC}\displaystyle{D, E}a=BC=4BEAEb,cABAC , BDSAB^{2}=AS{\cdot} AC+BS{\cdot} BD\displaystyle{AB \Gamma}\displaystyle{B\Delta}\displaystyle{ \Gamma E}\displaystyle{H}\displaystyle{
B\Gamma ^2 = B\Delta \cdot BH + \Gamma {\rm E} \cdot \Gamma H}[unparseable or potentially dangerous latex formula]\displaystyle{ABCD}\displaystyle{AB = 3BC}\displaystyle{AB}\displaystyle{E,Z}\displaystyle{AE = EZ = ZB}\displaystyle{H \equiv BD \cap EC}\displaystyle{Z,H,C,B}[unparseable or potentially dangerous latex formula]\displaystyle{\vartriangle ABC}\displaystyle{\hat C = 2\hat A}\displaystyle{CD}\displaystyle{BC}\displaystyle{\hat C}\displaystyle{AB}\displaystyle{CD = \frac{{AB}}{2}}[unparseable or potentially dangerous latex formula]ABCD(O,R)\epsilonA^{'},B^{'},C^{'},D^{'}[unparseable or potentially dangerous latex formula]AA^{'}\cdot CC^{'}+BB^{'}\cdot DD^{'}=R^2\displaystyle{AB\Gamma\Delta}\hat A=\hat \Delta=90^oMA\DeltaA,\DeltaMB,M\Gamma\SigmaM\Sigma \perp B\GammaAABR\varepsilonCBC=ABCTBT\varepsilonSCT=ASBC\displaystyle ABCMBCNAMLBNALBCS\displaystyle BS=\frac{1}{6}BCABCMNABAC[unparseable or potentially dangerous latex formula]MN[unparseable or potentially dangerous latex formula]O,RAB=\Gamma \Delta =E Z =RK,\Lambda ,MB\Gamma ,\Delta E,ZAK\Lambda M[unparseable or potentially dangerous latex formula]\displaystyle{\widehat{A}=\widehat{B}=90^o}\displaystyle{AB=AD}AE \perp BC\varepsilon \phi (\widehat{BDC}) =2BD\displaystyle{M}\displaystyle{AC}\displaystyle{ABC}\displaystyle{MH}\displaystyle{BC}\displaystyle{P}\displaystyle{MH}\displaystyle{AH}\displaystyle{BP}\displaystyle ABCBCbcSAS[unparseable or potentially dangerous latex formula]ABBC , DAC , ADS , TAC{\cdot}AS=AD{\cdot}AT\displaystyle{60}\displaystyle{P}\displaystyle{3}\displaystyle{60}\displaystyle{A,B,C,D,E,Z}[unparseable or potentially dangerous latex formula]\displaystyle{PA + pC + PE = PB +PD +PZ}\displaystyle{AB\Gamma }\displaystyle{{\rm A}\Delta }\displaystyle{\Delta }\displaystyle{{\rm A}\Gamma }\displaystyle{
{\rm E}}\displaystyle{{\rm E}\Delta = \Delta {\rm B}}[unparseable or potentially dangerous latex formula]ABCD2a\times aMDCBCS\displaystyle CS=\frac{a}{3}SMDBT\displaystyle\frac{DT}{TB}[unparseable or potentially dangerous latex formula]S\overset{\frown}{AM}ABMT\perp SBAS+ST=TBS(AST)[unparseable or potentially dangerous latex formula]\displaystyle ABCa,b,cD,E,ZMNc,bDESAS//ZD[unparseable or potentially dangerous latex formula]K,L,MSKLKS=2SLSM\perp CK[unparseable or potentially dangerous latex formula]BCBA,CACMTATSBS=BC[unparseable or potentially dangerous latex formula]ABC(\hat A = {90^0})PABBP = 2PATBMCPATBM[unparseable or potentially dangerous latex formula]ABCDEABF,\,GBC,\,CDEF//AGFG[unparseable or potentially dangerous latex formula]K,L,MAB,ACBC\displaystyle ABCMBLKLS\displaystyle \frac{KS}{KL}\displaystyle ABCDaMBCNCD\displaystyle CN=\frac{a}{4}AM\widehat{BAN}\displaystyle{ABCD}\displaystyle{AB//CD}\displaystyle{\widehat{A}= 90^o}\hat{B},\hat{C} ,SAD(AD)\displaystyle ABC\hat{A}BCTTTB45^0CASST\widehat{ASB}[unparseable or potentially dangerous latex formula]\displaystyle ABC , (\hat{A}=90^0)ADBES\displaystyle \frac{BS}{SE}=1\displaystyle \frac{BD}{DC}ABCDa\times bMABCMBDS\displaystyle \frac{a}{b}ASCABMACABN\displaystyle \frac{CB}{MN}=\frac{1}{2}\displaystyle \frac{AC}{AB}[unparseable or potentially dangerous latex formula]ABCDEABFBCBC=4BFEDFEDA,EDFCDABCDaS\displaystyle CS=\frac{a}{4}\widehat{BAS}BC\displaystyle{ABC}\displaystyle{\widehat{A}=90^o, AC=20, AB=30}AD[unparseable or potentially dangerous latex formula]DABABCDE = \displaystyle\frac{{AC}}{2}BEEZ\hat ABC[unparseable or potentially dangerous latex formula]ABCDPABPG,\;PFPACBDAZABDPF + PG = AZ\displaystyle{ABCD}\displaystyle{\widehat{B}=120^o,AB=3,BC=4}\displaystyle{CD}a,b,cADAC,ABDE,DZZE[unparseable or potentially dangerous latex formula]ABCDFBCAE \bot DFBE[unparseable or potentially dangerous latex formula]ABCDaM , NAB , ADBN , CMSi)\widehat {ASN}=45^{o}ii)DS=a\displaystyle{105-45-30}\displaystyle{ABC}\hat{A}=105^0\hat{B}=45^0\hat{C}BCSCS=AB[unparseable or potentially dangerous latex formula]AB\Gamma\hat{A}=90^{0} ,A\Gamma =\beta , AB=\gammaA\Delta\delta _{\alpha }=A\Delta\beta , \gamma[unparseable or potentially dangerous latex formula]ABCD,EBC,AB\displaystyle\frac{{AE}}{{EB}} = \displaystyle\frac{5}{2}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\displaystyle\frac{{BD}}{{DC}} = \displaystyle\frac{1}{3}AD \bot CEABCDKBCKADCDMAK = DM + BK[unparseable or potentially dangerous latex formula]ABC\left( {AB = AC} \right)PBCPD \bot ABPE \bot AC\varepsilonDEBCAP[unparseable or potentially dangerous latex formula]AB\Gamma\ KAB\Lambda A \GammaAK=ABA \Lambda=A\Gamma\angle BAK= \angle \Gamma A \LambdaB\Lambda\Gamma KMO\triangle B\Gamma MAO \perp K\Lambda[unparseable or potentially dangerous latex formula]E,ZAB, ACABCAE=AZFAMEZ\displaystyle{\frac{{EF}}{{FZ}} = \frac{{AC}}{{AB}}.}[unparseable or potentially dangerous latex formula]ABCDaE,ZAD,DCDE = CZ = \displaystyle\frac{1}{3}aAZ,CESAC,BSTECB,T,CABCDEADEBACTET \bot TB[unparseable or potentially dangerous latex formula]ABCDAD(B\overset{\frown}{AC})SDSMBC[unparseable or potentially dangerous latex formula]ABCD\displaystyle{AB=3BC}DABEOOE\bot DEOEDAZAD=AZ[unparseable or potentially dangerous latex formula]\vec{a}=(\sqrt{3},1),\vec{b}=(-\sqrt{3},1)A (6,2)y=2x$ .)


Υ.Γ. Αν πετύχετε πουθενά αλλού καμία από τις παραπάνω ασκήσεις, στείλτε μου μήνυμα να συμπληρώσω την παραπομπή.





Υ.Γ. από εδώ

Υ.Γ. Απαντώντας και σε φιλική συζήτηση με συνάδελφο, που μάς παρακολουθεί, ο οποίος εξέφρασε την εκτίμηση ότι το 70% των θεμάτων και των λύσεων του mathematica δεν μπορεί να εφαρμοστεί στην τάξη.
Πέρα από το ότι το δεν παίζει το ρόλο του σχολικού συμπληρώματος, αλλά ξανοίγεται και σε πάμπολλα άλλα θέματα, προσθέτω τα εξής:
Στους φακέλους με ονομασία Μαθηματικά Γυμνασίου-Λυκείου συνήθως δεν ασχολούμαστε με τελείως τετριμμένα θέματα. Το Γιατί είναι ευνόητο και το έχουμε παλαιότερα αναλύσει.
Πολλές φορές προσεγγίζουμε θέματα με πολλούς τρόπους.
Εννοείται ότι δεν μεταφέρουμε στις τάξεις μας όλες τις μεθόδους και τις λύσεις που αναρτούμε εδώ!
Κάνουμε μάθημα "κανονικό", συντονισμένο με τις δυνατότητες και τις ανάγκες της τάξης.
Το είναι και χώρος πειραματισμού, φαντασίας, ανταλλαγής μεθόδων κι εμπλουτισμού των γνώσεων μας.
Προφανώς, λοιπόν, στην τάξη θα προτιμήσω τις λύσεις των φίλων παραπάνω κι όχι την τελευταία. Όμως, αν βρω μαθητή πρόθυμο να ψάξει παραπάνω, θα του δώσω να πειραματιστεί και με κάτι διαφορετικό...

για τους λάτρεις της Γεωμετρίας

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Άλυτες
Ασκήσεις Στερεομετρίας
Γεωμετρικές Κατασκευές
Αποδείξεις Γνωστών Θεωρημάτων
Ασκήσεις Γεωμετρίας Διπλώνοντας Χαρτιά
Λυμένες Ασκήσεις Γεωμετρίας με 7+ τρόπους
Λυμένες Ασκήσεις με Αντιστροφή Ιησουιτών
Λυμένες Ασκήσεις Μαθηματικών ΒΛΚΑΤ με Ευκλείδεια Γεωμετρία
Λυμένες Ασκήσεις Μιγαδικών ΓΛΚΑΤ με Ευκλείδεια Γεωμετρία
Φυλλάδια σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά
Άλυτα Θέματα Διαγωνισμών ΕΜΕ
Bulletin Γεωμετρία Α' Λυκείου
Bulletin Γεωμετρία Β' Λυκείου