Να αποδείξετε ότι

Συντονιστής: gbaloglou

Barham76
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Κυρ Ιουν 07, 2015 9:03 am

Να αποδείξετε ότι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Barham76 » Κυρ Ιουν 07, 2015 9:33 am

Εικόνα


vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1981
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Να αποδείξετε ότι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Παρ Ιουν 12, 2015 11:53 pm

Δεν μπόρεσα να σκεφτώ μία γεωμετρική απόδειξη.

Ας δούμε μία τριγωνομετρική προσέγγιση, αλλά με "τοπογραφική" μέθοδο ( με χρήση απλού scientific calculator :lol: ) .

Με βάση το Θεώρημα ημιτόνων στα κατάλληλα τρίγωνα καταλήγουμε ως ισοδύναμο προς απόδειξη ζητούμενο στην ισότητα :

\displaystyle sin 14^{o}[sin 48^{o}sin 108^{o} + sin 76^{o}(sin 48^{o} + sin24^{o})] = sin 34^{o}sin 56^{o}sin 108^{o} η οποία ισχύει,

αφού με αντικατάσταση των αντίστοιχων τιμών ημιτόνων παίρνουμε : 0,440902124 \approx 0,440902123

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θα ήταν απίθανη μία τέτοια προσέγγιση με λάθος στις πράξεις, αλλά ποτέ δεν ξέρεις.


dimplak
Δημοσιεύσεις: 563
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Να αποδείξετε ότι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Ιούλ 23, 2015 8:04 pm

Διαιρούμε και τα δύο μέλη με BD , οπότε έχουμε \frac{ED}{BD} + \frac{BE}{BD} + \frac{AB}{BD} = \frac{DC}{BD} ,

ή \frac{ED}{BD} + \frac{BE}{BD} + \frac{AB}{BD} = \frac{DC}{AD} \cdot \frac{AD}{BD}

Από το νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα BED , ABD , ADC και αντικατάσταση κάθε κλάσματος στην παραπάνω σχέση προκύπτει:

\frac{sin24}{sin108} + \frac{sin48}{sin108} + \frac{sin48}{sin76} = \frac{sin34}{sin14} \cdot \frac{sin56}{sin76} .

Το δεύτερο μέλος της παραπάνω σχέσης απλοποιείται με τη βοήθεια των τριγωμονετρικών ταυτοτήτων 2 \cdot sina \cdot sinb = cos(a-b) - cos(a+b) και cos(90 - a) = sina ως εξής:

\frac{sin34}{sin14} \cdot \frac{sin56}{sin76} = \frac{2sin34sin56}{2sin14sin76} = \frac{cos22 - cos90}{cos62 - cos90} = \frac{cos22}{sin28}

Οπότε η σχέση γίνεται:

\frac{sin24}{sin108} + \frac{sin48}{sin108} + \frac{sin48}{sin76} = \frac{cos22}{sin28} ή

\frac{sin24 + sin48}{sin108} = \frac{cos22}{sin28} - \frac{sin48}{sin76} ή

\frac{sin24 + sin48}{sin72} = \frac{cos22}{sin28} - \frac{sin48}{cos14} ή

\frac{sin24 + sin48}{sin72} = \frac{cos22}{sin28} - \frac{2sin14sin48}{2sin14cos14} ή

\frac{sin24 + sin48}{sin72} = \frac{cos22}{sin28} - \frac{2sin14sin48}{sin28} ή (επειδή 2sinacosa = sin2a )

\frac{sin24 + sin48}{sin72} = \frac{cos22 - 2sin14sin48}{sin28} ή

\frac{sin24 + sin48}{cos18} = \frac{cos22 - 2sin14sin48}{sin28}

Η παραπάνω σχέση ισχύει διότι αποδεικνύεται ότι κάθε μέλος της ισούται με 2sin6 + 1 .

Για το 1ο μέλος έχουμε:

\frac{sin24 + sin48}{cos18} = \frac{2sin36cos12}{cos18} = \frac{2\cdot 2sin18cos18cos12}{cos18} =

4sin18cos12 = 2 \cdot 2sin18cos12 = 2 \cdot ( sin6 + sin30 ) = 2sin6 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 2sin6 + 1

διότι 2sinacosb = sin(a-b) + sin(a+b) .

Για το δεύτερο μέλος έχουμε:

\frac{cos22 - 2sin14sin48}{sin28} = \frac{cos(28-6) - 2sin14sin48}{sin28} = \frac{cos28cos6 + sin28sin6}{sin28} - \frac{2sin14sin48}{2sin14cos14} = ( cos(a-b) = cosacosb + sinasinb )

\frac{cos28cos6}{sin28} + sin6 - \frac{sin(62-14)}{cos14} = \frac{(cos28cos6}{sin28} + sin6 - \frac{sin62cos14 - sin14cos62}{cos14} = (sin(a-b) = sinacosb - sinbcosa )

\frac{cos28cos6}{sin28} + sin6 - sin62 + \frac{sin14sin28}{cos14} =\frac{(cos28cos6}{sin28} + sin6 - cos28 + \frac{2sin14sin14cos14}{cos14} =

\frac{cos28cos6}{sin28} + sin6 - cos28 + 2sin^2 14 = \frac{(cos28cos6}{sin28} + sin6 - cos28 + 1 - cos28

sin6 + 1 - 2cos28 + \frac{cos28cos6}{sin28} = sin6 + 1 - \frac{2cos28sin28 - cos28cos6}{sin28} =

sin6 + 1 - \frac{2sin56 - cos22 - cos34}{2sin28} = sin6 + 1 - \frac{2sin56 - cos22 - sin56}{2sin28} =

sin6 + 1 - \frac{sin56 - sin68}{2sin28} = sin6 + 1 + \frac{sin68 - sin56}{2sin28} = sin6 + 1 + \frac{2sin6cos62}{2sin28} =

sin6 + 1 + \frac{sin6sin28}{sin28} = sin6 + 1 + sin6 = 2sin6 + 1.


Ως μαθηματικός όμως δεν είμαι ικανοποιημένος! Θα συνεχίσω μέχρι να βρω και μία ... "καθαρά Ευκλείδια" γεωμετρική λύση!


dimplak
Δημοσιεύσεις: 563
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Να αποδείξετε ότι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τετ Μαρ 07, 2018 9:34 am

Μετά από τρία χρόνια ο μεγάλος γεωμέτρης Απόστολος Μανωλούδης κατάφερε να μας χαρίσει μια καθαρά γεωμετρική λύση σε αυτό το πρόβλημα!

Τον ευχαριστώ πολύ!

Υ.Γ. Μόλις βρω χρόνο θα ανεβάσω και αναλυτικά τη λύση του!
manoloudis.jpg
manoloudis.jpg (80.91 KiB) Προβλήθηκε 246 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης