Άθροισμα 180

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4287
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Άθροισμα 180

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Σάβ Οκτ 15, 2016 12:13 am

Ξεκινάμε από μία κορυφή τριγώνου και διανύουμε την περίμετρο του κατά την θετική φορά καταλήγοντας στο σημείο που ξεκινήσαμε.
Έχουμε κάνει μια πλήρη περιστροφή δηλ. 360^{\circ }. Στρίψαμε 3 φορές κατά τις εξωτερικές γωνίες του τριγώνου. Άρα το άθροισμα των τριών εξωτερικών γωνιών είναι 360^{\circ }. Άλλα κάθε εξωτερική είναι παραπλήρωμα της αντίστοιχης εσωτερικής. Από αυτό βρίσκουμε ότι το άθροισμα των εωτερικών γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180^{\circ }.
180.png
180.png (45.77 KiB) Προβλήθηκε 1267 φορές
Τα σχόλια σας.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1894
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Άθροισμα 180

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Οκτ 15, 2016 2:53 pm

Καλή μου φαίνεται! Γενικεύεται για το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κάθε κυρτού πολυγώνου.

Βέβαια, φαίνεται να εμπεριέχει περισσότερη διαίσθηση και λιγότερη τεκμηρίωση.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12251
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα 180

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Οκτ 15, 2016 3:02 pm

Κώστα, αλλού είναι η ουσία.

Δεν αποκαλύπτω το μυστικό γιατί το ξέρω ήδη. Δίνω μόνο νύξη με απόκρυψη:
Δίνει την εντύπωση ότι έδειξε πως το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι 180^o χωρίς να έχει γίνει χρήση του αξιώματος των παραλλήλων.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4287
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα 180

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Παρ Οκτ 21, 2016 9:21 pm

Γεια σας.
Η απόδειξη φαινομενικά είναι καλή. Ωστόσο λείπει κάποιο βήμα. Εκείνο που θα εξηγεί γιατί όντως οι τρεις γωνίες
στροφής όντως έχουν άθροισμα 360^{\circ }. Για να γίνει η άθροιση πρέπει όλες να μεταφερθούν κάπου ώστε να έχουν
κοινή κορυφή. Αυτό απαιτεί με τον ένα ή τον άλλο τρόπο το Ευκλείδειο αίτημα όπως επεσήμανε ο Μιχάλης.
Το θέμα το βρήκα μέσω παραπομπής στο άρθρο της Celia Hoyles:
The Curricular Shaping of Students' Approaches to Proof
(For the Learning of Mathematics 17, I February 1997).
Θεωρώ βέβαιο ότι υπάρχει και αλλού.

Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12251
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα 180

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Οκτ 21, 2016 10:58 pm

nsmavrogiannis έγραψε: Θεωρώ βέβαιο ότι υπάρχει και αλλού.
Νίκο, σίγουρα. Το θυμάμαι από τα φοιτητικά μου χρόνια, αλλά άντε βρες το!


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4287
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα 180

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τρί Μάιος 12, 2020 8:19 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Οκτ 21, 2016 10:58 pm
nsmavrogiannis έγραψε: Θεωρώ βέβαιο ότι υπάρχει και αλλού.
Νίκο, σίγουρα. Το θυμάμαι από τα φοιτητικά μου χρόνια, αλλά άντε βρες το!
ὁ ζητῶν εὑρίσκει

Ετοιμάζοντας κάποιο επιμορφωτικό υλικό για συναδέλφους συναντήθηκα πάλι με το παραπάνω. Ψάχνοντας το βρήκα ως άσκηση στον 1ο τόμο του "A Survey of Geometry" του Eves (σελ. 336) που με βοήθησε να βγάλω άκρη. Το αποδίδει στον Thibault. Μετά στα "Στοιχεία" του Heath (τόμος 1, σελ. 321) βρήκα και πλήρη παραπομπή:
Bernhard Friedrich Thibaut Grundriss Der Reinen Mathematik Zum Gebrauch Bei Academischen Vorlesungen (1809)
Το έργο σε διάφορες εκδόσεις μπορεί να βρεθεί εδώ και εκεί.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8449
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα 180

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Μάιος 13, 2020 10:39 am

Δείτε επίσης και εδώ.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9378
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άθροισμα 180

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 13, 2020 7:24 pm

Δείτε και αυτό


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4287
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα 180

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Πέμ Μάιος 14, 2020 10:24 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Μάιος 13, 2020 7:24 pm
Δείτε και αυτό
Γιώργο ευχαριστούμε πολύ.
Αν και ήμουν στην Διημερίδα και παρακολούθησα την ενδιαφέρουσα ομιλία σου για κάποιο ανεξήγητο λόγο το συγκεκριμένο δεν το πρόσεξα. Αν το είχα πεοσέξει θα γλύτωνα από αρκετό ψάξιμο.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες