Μια γεωμετρική ανισότητα!

#1

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και ευθεία $\displaystyle{(\ell )}$ . Οι αποστάσεις των κορυφών $\displaystyle{A,B,\Gamma}$ από την ευθεία $\displaystyle{(\ell)}$ είναι $\displaystyle{x,y,z,}$ αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{x^2 \tan A+y^2 \tan B+z^2 \tan \Gamma \geq 2E,}$

όπου $\displaystyle{E}$ το εμβαδόν του τριγώνου.

Πότε ισχύει η ισότητα;

#2

Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων $\displaystyle OXY$ , ώστε η ευθεία $\displaystyle BC$ να ταυτίζεται με τον άξονα των $\displaystyle X$ και η κάθετη ευθεία από το $\displaystyle A$ προς την $\displaystyle BC$ να ταυτίζεται με τον άξονα των $\displaystyle Y$ . Τότε, έχουμε ότι $\displaystyle A\left( {0,a} \right)$ , $\displaystyle B\left( { - b,0} \right)$ και $\displaystyle C\left( {c,0} \right),$ όπου $\displaystyle a,b,c > 0.$ Άρα, θα είναι:

$\displaystyle E = \frac{{a\left( {b + c} \right)}}{2},$

$\displaystyle \tan B = \frac{a}{b},$

$\displaystyle \tan C = \frac{a}{c}$

και

$\displaystyle \tan A = - \tan \left( {B + C} \right) = - \frac{{\tan B + \tan C}}{{1 - \tan B\tan C}} = -\frac{{\dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c}}}{{1 - \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{c}}} = \frac{{a\left( {b + c} \right)}}{{{a^2} - bc}} > 0,$

άρα και $\displaystyle {a^2} - bc > 0.$

Έστω ότι η ευθεία $\displaystyle \ell$ έχει εξίσωση $\displaystyle rX + sY + t = 0,$ όπου $\displaystyle r,s,t \in \mathbb{R}$ με $\displaystyle {r^2} + {s^2} > 0.$ Τότε, θα είναι:

$\displaystyle x = \frac{{\left| {sa + t} \right|}}{{\sqrt {{r^2} + {s^2}} }},$

$\displaystyle y = \frac{{\left| { - rb + t} \right|}}{{\sqrt {{r^2} + {s^2}} }}$

και

$\displaystyle z = \frac{{\left| {rc + t} \right|}}{{\sqrt {{r^2} + {s^2}} }}.$

Έτσι, έχουμε ότι:

$\displaystyle {x^2}\tan A + {y^2}\tan B + {z^2}\tan C = \frac{1}{{{r^2} + {s^2}}}\left[ {{{\left( {sa + t} \right)}^2}\frac{{a\left( {b + c} \right)}}{{{a^2} - bc}} + {{\left( { - rb + t} \right)}^2}\frac{a}{b} + {{\left( {rc + t} \right)}^2}\frac{a}{c}} \right] =$

$\displaystyle = \frac{a}{{{r^2} + {s^2}}}\left[ {{{\left( {sa + t} \right)}^2}\frac{{b + c}}{{{a^2} - bc}} + \frac{1}{{bc}}\left( {c{{\left( { - rb + t} \right)}^2} + b{{\left( {rc + t} \right)}^2}} \right)} \right] =$

$\displaystyle = \frac{a}{{{r^2} + {s^2}}}\left[ {{{\left( {sa + t} \right)}^2}\frac{{b + c}}{{{a^2} - bc}} + \frac{1}{{bc}}\left( {{r^2}{b^2}c - 2rtbc + c{t^2} + {r^2}b{c^2} + 2rtbc + b{t^2}} \right)} \right] =$

$\displaystyle = \frac{a}{{{r^2} + {s^2}}}\left[ {{{\left( {sa + t} \right)}^2}\frac{{b + c}}{{{a^2} - bc}} + \frac{{b + c}}{{bc}}\left( {{r^2}bc + {t^2}} \right)} \right] =$

$\displaystyle = \frac{{a\left( {b + c} \right)}}{{{r^2} + {s^2}}}\left[ {\frac{{{{\left( {sa + t} \right)}^2}}}{{{a^2} - bc}} + \frac{{{r^2}bc + {t^2}}}{{bc}}} \right] =$

$\displaystyle = 2E \cdot \frac{{bc{{\left( {sa + t} \right)}^2} + \left( {{a^2} - bc} \right)\left( {{r^2}bc + {t^2}} \right)}}{{bc\left( {{a^2} - bc} \right)\left( {{r^2} + {s^2}} \right)}}.$

Επομένως, αρκεί να δείξουμε ότι:

$\displaystyle \frac{{bc{{\left( {sa + t} \right)}^2} + \left( {{a^2} - bc} \right)\left( {{r^2}bc + {t^2}} \right)}}{{bc\left( {{a^2} - bc} \right)\left( {{r^2} + {s^2}} \right)}} \ge 1 \iff$

$\displaystyle \iff {s^2}{a^2}bc + 2abcst + {t^2}bc + {r^2}{a^2}bc + {a^2}{t^2} - {r^2}{b^2}{c^2} - {t^2}bc \ge {r^2}{a^2}bc - {r^2}{b^2}{c^2} + {s^2}{a^2}bc - {s^2}{b^2}{c^2} \iff$

$\displaystyle \iff {s^2}{b^2}{c^2} + 2abcst + {a^2}{t^2} \ge 0 \iff {\left( {sbc + at} \right)^2} \ge 0,$

που ισχύει, άρα η αποδεικτέα ανισότητα έπεται.

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle sbc + at = 0 \iff s\frac{{bc}}{a} + t = 0,$ δηλαδή αν και μόνο αν το σημείο $\displaystyle H\left( {0,\frac{{bc}}{a}} \right)$ ανήκει στην ευθεία $\displaystyle \ell$ . Αλλά είναι

$\displaystyle \overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( {b,\frac{{bc}}{a}} \right) \cdot \left( {c, - a} \right)=bc - bc = 0,$

οπότε $\displaystyle BH \bot AC$ και άρα το σημείο $\displaystyle H$ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου $\displaystyle ABC.$ Συνεπώς, η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν η ευθεία $\displaystyle \ell$ διέρχεται από το ορθόκεντρο $\displaystyle H$ του τριγώνου $\displaystyle ABC.$

Μια γεωμετρική ανισότητα!

Μια γεωμετρική ανισότητα!

Re: Μια γεωμετρική ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση