Ισοσκελή και τα τέσσερα!

Συντονιστής: gbaloglou

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 815
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Ισοσκελή και τα τέσσερα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Μαρ 25, 2018 2:44 am

Καλημέρα και Χρόνια πολλά!
Και τα 4 ισοσκελή.PNG
Και τα 4 ισοσκελή.PNG (5.46 KiB) Προβλήθηκε 361 φορές
Για τις πλευρές του τριγώνου ABC ισχύει a^{2}=ab+c^{2}. Στην πλευρά BC θεωρούμε τα σημεία D,E,Z τέτοια ώστε :

Το τρίγωνο ZAC να είναι οξυγώνιο με ZA=ZC ενώ και τα BAD,ADE,ZEA να είναι ισοσκελή .

1) Να βρεθούν τα μέτρα των γωνιών του ABC και 2) Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( ADE \right )}{\left ( ZAC \right )}

Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5792
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισοσκελή και τα τέσσερα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μαρ 25, 2018 12:43 pm

Ισοσκελή και τα τέσσερα.png
Ισοσκελή και τα τέσσερα.png (31.64 KiB) Προβλήθηκε 313 φορές
Με τον αυτόματο πιλότο


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4042
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ισοσκελή και τα τέσσερα!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Μαρ 25, 2018 7:26 pm

Kαλησπέρα σε όλους. Ξεκινώ με το (1) με μια "βαριά" τριγωνομετρική λύση. Η προκύπτουσα εξίσωση, αν και φαίνεται τρομακτική, είναι τελικά απλή. Ενδιαφέρον έχει η χρήση των περιορισμών για τις τιμές του φ.
25-03-2018 Γεωμετρία.jpg
25-03-2018 Γεωμετρία.jpg (162.8 KiB) Προβλήθηκε 275 φορές
Αφού το ZAC είναι οξυγώνιο, είναι  \displaystyle \widehat {ZAE} > 90^\circ , οπότε AD > DE = AE.

Ομοίως δείχνουμε ότι DE = AE και BD = AD.

Έστω  \displaystyle \widehat B = \varphi , οπότε διαδοχικά  \displaystyle \widehat {ADE} = 2\varphi ,\;\;\widehat {{\rm A}{\rm E}{\rm Z}} = 4\varphi ,\;\;\widehat {AZC} = 8\varphi .

Οπότε,  \displaystyle \widehat C = 90^\circ  - 4\varphi \;,\;\;\;\widehat {\rm A} = 90^\circ  + 3\varphi .

Αφού το AZC είναι οξυγώνιο, προκύπτει ότι  \displaystyle 0^\circ  < 8\varphi  < 90^\circ  \Leftrightarrow 0^\circ  < \varphi  < 11,25^\circ .

Δίνεται  \displaystyle {a^2} = ab + {c^2} (1).

Από Ν. Συνημιτόνων στο ABC είναι

 \displaystyle {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab \cdot \sigma \upsilon \nu \left( {90^\circ  - 4\varphi } \right) \Leftrightarrow {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab \cdot \eta \mu 4\varphi (2)

Επιλύοντας το σύστημα των (1) και (2) έχουμε  \displaystyle \eta \mu 4\varphi  = \frac{{a + b}}{{2a}} (3)

Από Ν. Ημιτόνων είναι  \displaystyle \frac{a}{{\eta \mu {\rm A}}} = \frac{b}{{\eta \mu {\rm B}}} \Leftrightarrow b = a \cdot \frac{{\eta \mu \varphi }}{{\sigma \upsilon \nu 3\varphi }} , οπότε η (3) γίνεται

 \displaystyle 2\sigma \upsilon \nu 3\varphi  \cdot \eta \mu 4\varphi  = \sigma \upsilon \nu 3\varphi  + \eta \mu \varphi

 \displaystyle  \Leftrightarrow \eta \mu 7\varphi  + \eta \mu \varphi  = \sigma \upsilon \nu 3\varphi  + \eta \mu \varphi  \Leftrightarrow \eta \mu 7\varphi  = \eta \mu \left( {90^\circ  - 3\varphi } \right)

 \displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
7\varphi  = 360^\circ k + 90^\circ  - 3\varphi \\ 
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vee \\ 
7\varphi  = 360^\circ k + 90^\circ  + 3\varphi  
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
\varphi  = 36^\circ k + 9^\circ ,\;\;k \in Z\\ 
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vee \\ 
\varphi  = 90^\circ k + 22,5^\circ ,\;\;k \in Z 
\end{array} \right.

Δεκτή λύση είναι  \displaystyle \varphi  = 9^\circ .

edit (20.50). Προσθέτω απάντηση κια για το δεύτερο ερώτημα του Γιώργου.


Αφού τα τρίγωνα έχουν ίσα ύψη, είναι  \displaystyle \frac{{\left( {ADE} \right)}}{{\left( {ZAC} \right)}} = \frac{{DE}}{{ZC}} .

Είναι DE = AE, AZ= ZC και στο AZE είναι

 \displaystyle \frac{{AE}}{{\eta \mu 108^\circ }} = \frac{{AZ}}{{\eta \mu 36^\circ }} \Leftrightarrow \frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm A}{\rm Z}}} = \frac{{\eta \mu 108^\circ }}{{\eta \mu 36^\circ }} = \frac{{\eta \mu 72^\circ }}{{\eta \mu 36^\circ }} = \frac{{2\eta \mu 36^\circ  \cdot \sigma \upsilon \nu 36^\circ }}{{\eta \mu 36^\circ }} = 2\sigma \upsilon \nu 36^\circ  = \varphi .


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1372
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισοσκελή και τα τέσσερα!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Μαρ 25, 2018 9:12 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Μαρ 25, 2018 2:44 am
Καλημέρα και Χρόνια πολλά!
Και τα 4 ισοσκελή.PNG
Για τις πλευρές του τριγώνου ABC ισχύει a^{2}=ab+c^{2}. Στην πλευρά BC θεωρούμε τα σημεία D,E,Z τέτοια ώστε :

Το τρίγωνο ZAC να είναι οξυγώνιο με ZA=ZC ενώ και τα BAD,ADE,ZEA να είναι ισοσκελή .

1) Να βρεθούν τα μέτρα των γωνιών του ABC και 2) Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( ADE \right )}{\left ( ZAC \right )}

Ευχαριστώ , Γιώργος.

1.Έστω \displaystyle K στην \displaystyle BC με \displaystyle BK = b οπότε \displaystyle BK = a - b

\displaystyle {a^2} = ab + {c^2} \Leftrightarrow a\left( {a - b} \right) = {c^2} \Leftrightarrow A{B^2} = AK \cdot AC συνεπώς η \displaystyle AB είναι εφαπτόμενη

του περίκυκλου του \displaystyle \vartriangle AKC επομένως \displaystyle \angle C = \theta

Έτσι \displaystyle \angle CAK = \theta  + y = \theta  + x \Rightarrow \boxed{y = x}

Από τα \displaystyle \vartriangle AZC,ABC \Rightarrow 8x + 2\theta  = x + 3\theta  = {180^0} \Rightarrow \theta  = 6xκαι \displaystyle \boxed{x = {9^0}},\boxed{\theta  = {{54}^0}}

2.Επειδή \displaystyle \angle EAC = 10x = {90^0} και \displaystyle AZ = ZC \Rightarrow ZC = ZE.

Έστω \displaystyle AZ = m, \displaystyle AE = l και \displaystyle AP \bot DA.

Τότε \displaystyle \angle APZ = \angle AZP = \angle EAP = {72^0} και \displaystyle \vartriangle AEP \simeq \vartriangle AZP απ όπου \displaystyle \frac{l}{m} = \frac{m}{{l - m}} \Leftrightarrow {l^2} = m\left( {l + m} \right) \Rightarrow \boxed{\frac{l}{m} = \varphi }

Αλλά \displaystyle \boxed{\frac{{\left( {ADE} \right)}}{{\left( {AZC} \right)}} = \frac{{DE}}{{ZC}} = \frac{{AE}}{{AZ}} = \frac{l}{m} = \varphi }
4 ισοσκελή.png
4 ισοσκελή.png (25.74 KiB) Προβλήθηκε 258 φορές


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 815
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ισοσκελή και τα τέσσερα!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Μαρ 30, 2018 12:18 am

Καλό βράδυ σε όλους ! Να ευχαριστήσω τους Γιώργο και Μιχάλη και βεβαίως τον ..αυτόματο πιλότο του Νίκου!

Η προσωπική προσέγγιση-σκεπτικό για την δημιουργία του θέματος : Στα δεδομένα έθεσα και την σχέση \widehat{AZC}< 90^{0}

ώστε ακριβώς με τον συλλογισμό του Γιώργου να προκύπτει \widehat{C}=90^{0}-4\widehat{B} ενώ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{0} .

Μια τρίτη εξίσωση για τις γωνίες , μας προσφέρεται στο θέμα ΕΔΩ με την πρόταση a^{2}=ab+c^{2}\Leftrightarrow \widehat{A}=90^{0}+\widehat{C}/2.
Η λύση του συστήματος δίνει \widehat{B}=9^{0},\widehat{C}=54^{0}, \widehat{A}=117^{0}.

Για το β' ζητούμενο : Το τρίγωνο ZEA είναι του τύπου \left ( 36^{^{0}},36^{0},108^{0} \right ) οπότε

λόγω και της εφαρμογής στο τέλος της ίδιας παραπομπής παίρνουμε \dfrac{\left ( ADE \right )}{\left ( ZAC \right )}=\dfrac{DE}{ZC}=\dfrac{AE}{AZ}=\Phi

Η πρόταση της παραπομπής ..εμφανίστηκε για ένα ακόμη σκοπό : Να μας δώσει την ευκαιρία για την αντιμετώπιση
και άλλου θέματος που (πρωτο)έθεσα αρχές Φεβρουαρίου .Τώρα πλέον (ας προβλέψω ότι ) οδεύει προς την ..τακτοποίησή του!

Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης