Υπέρ βωμών και εστιών

#1

Προτείνω εδώ έναν καινούργιο (;) τρόπο προσδιορισμού του κέντρου συμμετρίας έλλειψης ή υπερβολής και, στην περίπτωση έλλειψης, προσδιορισμού των εστιών της.

Αρχίζοντας με μία κωνική τομή ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=1

παρατηρούμε ότι, για το τυχόν σημείο της (x, y)

κείται επί αυτής και το σημείο (2u-x, 2v-y)

, όπου

το κέντρο συμμετρίας της κωνικής. Ισχύουν δηλαδή ταυτόχρονα οι ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=1

και

. Αφαιρώντας κατά μέλη και μηδενίζοντας τους συντελεστές των

,

καταλήγουμε στο σύστημα

2au+bv=-d

που μας δίνει το κέντρο $(u, v)=\left(\dfrac{be-2cd}{4ac-b^2}, \dfrac{bd-2ae}{4ac-b^2}\right)$ .

[Βεβαίως το παραπάνω κέντρο δεν ορίζεται στην στην περίπτωση 4ac-b^2=0

, όταν δηλαδή η κωνική είναι παραβολή.]

Έχοντας προσδιορίσει το κέντρο προσδιορίζουμε τους δύο άξονες της έλλειψης ή τον έναν άξονα της υπερβολής ως εξής: για κάθε σημείο (x,y)

επί της κωνικής υπολογίζουμε την απόσταση από το συμμετρικό του (2u-x, 2v-y)

, και βρίσκουμε τα σημεία όπου η απόσταση αυτή ελαχιστοποιείται ή μεγιστοποιείται -- βεβαίως έχουμε και ελαχιστοποίηση και μεγιστοποίηση στην περίπτωση της έλλειψης, αλλά μόνον ελαχιστοποίηση στην περίπτωση της υπερβολής.

Αναζητούμε δηλαδή τα ακρότατα της 4(x-u)^2+4(y-v)^2

. Τα ακρότατα επιτυγχάνονται στα σημεία όπου 2(x-u)+2(y-v)y'=0

, οπότε προκύπτει η $y'=-\dfrac{x-u}{y-v}$ . Ταυτόχρονα όμως λαμβάνουμε από την εξίσωση της κωνικής τις σχέσεις 2ax+by+bxy'+2cyy'+d+ey'=0

και $y'=-\dfrac{2ax+by+d}{bx+2cy+e}$ . Εξισώνοντας καταλήγουμε στην 'εξίσωση αξόνων'

$\dfrac{2ax+by+d}{bx+2cy+e}=\dfrac{x-u}{y-v}.$

Δεν είναι προφανές, αλλά η παραπάνω 'κωνική' που προέκυψε είναι ισοδύναμη προς τις εξισώσεις δύο καθέτων μεταξύ τους ευθειών! Βρίσκοντας τες -- αυτό γίνεται θέτοντας διαδοχικά x=0

και

στην εξίσωση αξόνων, προσδιορίζοντας επομένως τα σημεία τομής των δύο ευθειών με τους άξονες -- αντικαθιστούμε τις εξισώσεις τους στην εξίσωση της κωνικής και, επιλύοντας την δευτεροβάθμια που προκύπτει, βρίσκουμε τα σημεία τομής των αξόνων με την κωνική: στην περίπτωση της έλλειψης έχουμε λύσεις της δευτεροβάθμιας και για τις δύο ευθείες, στην περίπτωση της υπερβολής μόνο για μία από τις δύο ευθείες. (Πιο ρεαλιστικά ... δίνουμε την αρχική κωνική και την εξίσωση αξόνων μαζί στο λογισμικό, και αυτό μας δίνει τις λύσεις.)

Στην περίπτωση τώρα της έλλειψης, έχοντας το κέντρο και τους δύο άξονες βρίσκουμε τις εστίες ... γνωρίζοντας για παράδειγμα ότι αυτές κείνται επί του μεγάλου άξονα και σε απόσταση $\sqrt{M^2-m^2}$ από το κέντρο, όπου

,

τα μήκη του μεγάλου και του μικρού ημιάξονα. (Βεβαίως ... στην εποχή μας τις εστίες μπορεί να τις βρει και απευθείας το λογισμικό ... αλλά οι σκέψεις αυτές, και άλλες που ίσως προκύψουν και παρατεθούν εδώ αργότερα, μπορεί να έχουν αξία ... σε κάποιες θεωρητικότερες αναζητήσεις!)

Δίνω ως παράδειγμα την κωνική x^2-4xy+3y^2-x+5y=1

(υπερβολή), όπου το κέντρο προσδιορίζεται εύκολα ως (3,5, 1,5)

, ενώ η εξίσωση αξόνων είναι η 4x^2-4xy-4y^2-22x+26y+19=0

, παραγοντοποιούμενη στην $\left(\dfrac{4x}{11+3\sqrt{5}}+\dfrac{4y}{13+7\sqrt{5}}-1\right)\left(\dfrac{4x}{11-3\sqrt{5}}+\dfrac{4y}{13-7\sqrt{5}}-1\right)=0$ : η πρώτη ευθεία δεν τέμνει την κωνική, η δεύτερη την τέμνει στα σημεία που βλέπετε στο συνημμένο.

: άξονες-υπερβολής.png (14.75 KiB) Προβλήθηκε 890 φορές

#2

gbaloglou έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 27, 2018 6:22 pm
Προτείνω εδώ έναν καινούργιο (;) τρόπο προσδιορισμού του κέντρου συμμετρίας έλλειψης ή υπερβολής και, στην περίπτωση έλλειψης, προσδιορισμού των εστιών της.

Αρχίζοντας με μία κωνική τομή παρατηρούμε ότι, για το τυχόν σημείο της κείται επί αυτής και το σημείο , όπου το κέντρο συμμετρίας της κωνικής. Ισχύουν δηλαδή ταυτόχρονα οι και . Αφαιρώντας κατά μέλη και μηδενίζοντας τους συντελεστές των , καταλήγουμε στο σύστημα

Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω σχέσεις ( d=-2ua-vb, e=-ub-2vc

) ... είμαστε σε θέση να προσδιορίσουμε τυχούσα κωνική από το κέντρο της και τρία σημεία της: αυτό ακριβώς το πρόβλημα παρουσιάστηκε σήμερα το πρωί στην Μαθηματική Εβδομάδα, κατά θεαματικό τρόπο θα έλεγα, από τον Κώστα Δόρτσιο (συνεργασία με τον Γιώργο Τσίντσιφα, και με 'μαγική' χρήση βαρυκεντρικών συντεταγμένων).

Στην δική μου προσέγγιση (χρήση καρτεσιανών συντεταγμένων), αρχίζοντας από το κέντρο (u,v)

της κωνικής και τις παραπάνω σχέσεις, και από τρία σημεία (p_1,q_1), (p_2,q_2), (p_3,q_3)

της κωνικής, καταλήγουμε στο 3 x 3 γραμμικό σύστημα

(p_1^2-2up_1)a+(p_1q_1-vp_1-uq_1)b+(q_1^2-2vq_1)c=1

από το οποίο υπολογίζονται οι συντελεστές a, b, c,

και από αυτούς και οι συντελεστές d=-2ua-vb, e=-ub-2vc.

[Το πρώτο παράδειγμα που δοκίμασα, κέντρο $\left(\dfrac{3}{2}, 1\right)$ και σημεία (0,1), (2,2), (3,1)

... οδήγησε σε αόριστο σύστημα και απειρία ελλείψεων, συγκεκριμένα τις $\left(-\dfrac{b}{2}-\dfrac{1}{2}\right)x^2+bxy+\left(-\dfrac{3b}{2}-1\right)y^2+\left(\dfrac{b}{2}+\dfrac{3}{2}\right)x+\left(\dfrac{3b}{2}+2\right)y=1$

]

Υπέρ βωμών και εστιών

Υπέρ βωμών και εστιών

Re: Υπέρ βωμών και εστιών

Μέλη σε σύνδεση