Απρόσιτο ελάχιστο

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9979
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Απρόσιτο ελάχιστο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μάιος 30, 2018 9:25 pm

Απρόσιτο  ελάχιστο.png
Απρόσιτο ελάχιστο.png (10.74 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές
Σημείο S κινείται στη βάση BC ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC. Συνδέω την

κορυφή C με το μέσο M του τμήματος AS και έστω T σημείο της BC ,

ώστε : TM\perp CM . Για ποια θέση του S ελαχιστοποιείται το (MTC) ;



Λέξεις Κλειδιά:
nikkru
Δημοσιεύσεις: 330
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Απρόσιτο ελάχιστο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Τετ Μάιος 30, 2018 10:40 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Μάιος 30, 2018 9:25 pm
Απρόσιτο ελάχιστο.pngΣημείο S κινείται στη βάση BC ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC. Συνδέω την

κορυφή C με το μέσο M του τμήματος AS και έστω T σημείο της BC ,

ώστε : TM\perp CM . Για ποια θέση του S ελαχιστοποιείται το (MTC) ;
Το ορθογώνιο τρίγωνο MTC έχει σταθερό ύψος προς την υποτείνουσα ίσο με το μισό του ύψους του ABC, οπότε το εμβαδόν του γίνεται

ελάχιστο όταν γίνει ελάχιστη η TC δηλαδή όταν το MTC γίνει ισοσκελές. Τότε CS=a\frac{\sqrt{3}-1}{2} όπου α η πλευρά του ABC.
τελευταία επεξεργασία από nikkru σε Τετ Μάιος 30, 2018 11:14 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5250
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Απρόσιτο ελάχιστο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Μάιος 30, 2018 10:55 pm

Επιτρέψτε μου μία διαπραγμάτευση.

Αρκεί το εμβαδόν (ATC) να γίνει ελάχιστο. Επειδή το ύψος AA’ είναι σταθερό, αρκεί το μήκος TC να γίνει ελάχιστο δηλαδή αρκεί η διάμεσος MD\;\; (TD=TC) του ορθογωνίου τριγώνου MTC να γίνει ελάχιστη. Το σημείο M κινείται στη σταθερή ευθεία EF, με E,\;F τα μέσα των πλευρών AB, AC αντίστοιχα. Επομένως για να γίνει η MD ελάχιστη αρκεί να ισούται με την απόσταση των παραλλήλων EF, BC. Αυτό προφανώς επιτυγχάνεται όταν \displaystyle{\angle MCT = \frac{\pi }{4}.} Έτσι προσδιορίζεται και το T. Θεωρώ ότι το δεδομένο: Το τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο χρησιμεύει στο ότι η παραπάνω κατασκευή «ρίχνει» το T εντός της BC.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5953
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Απρόσιτο ελάχιστο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 31, 2018 12:22 am

Κάτι παρεμφερές .

Ας είναι a το μήκος της πλευράς του ισοπλεύρου τριγώνου . Το ύψος του είναι \boxed{h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}

Γράφω τον περιγεγραμμένο κύκλο του \vartriangle MTC που έχει το κέντρο του O επί της BC

και ακτίνα R . Τότε : (MTC) = \dfrac{1}{2}MT \cdot MC = \dfrac{1}{2}2Ry . όπου \boxed{y = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}} το ύψος του

που είναι σταθερό αφού το M ανήκει στη σταθερή ευθεία {g_2} που διέρχεται από

τα μέσα των AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC. Συνεπώς αν ο κύκλος εφάπτεται της {g_2} η ακτίνα του γίνεται ελάχιστη και ίση με \boxed{R = y = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}} και έτσι ελάχιστο το (MTC)
Απρόσιτο ελάχιστο_ok.png
Απρόσιτο ελάχιστο_ok.png (19.24 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές
Θα είναι τότε \boxed{(MTC) = {R^2} = \frac{{3{a^2}}}{{16}}}.

Κατασκευή : Γράφω το ημικύκλιο (C,\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}) που τέμνει τη BC στο O. Γράφω τώρα

και το ημικύκλιο (O,\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}) που εφάπτεται της {g_2} στο M . Η ευθεία AMτέμνει τη

BC στο S.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης