Αδιέξοδο σε ελάχιστο

KARKAR · #1

: Αδιέξοδο σε ελάχιστο.png (13.08 KiB) Προβλήθηκε 497 φορές

Το

είναι το μέσο της ακτίνας

κύκλου

και το

σημείο του .

Η ευθεία

τέμνει την εφαπτομένη του κύκλου στο

, σε σημείο

,

ενώ η εφαπτομένη στο

την τέμνει στο

. Ψάχνουμε για το $(PST)_{min}$ ...

#2

Καλησπέρα
Μια υπόθεση χωρίς απόδειξη

#3

: αδιέξοδο σε ελάχιστο_αναλυτικά.png (29.73 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές

Αν επιλέξω σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων με αρχή το M(0,0)

και

κατακόρυφο άξονα την ευθεία

, θεωρήσω δε P(a,b)

με :

$a > 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,0 < b < \dfrac{3}{2}$ βρίσκω με τη βοήθεια λογισμικού

$\boxed{a = 3\sqrt 2 \sqrt {2\sin \left( {\dfrac{{2arc\tan \dfrac{{3\sqrt {303} }}{{101}}}}{3} + \dfrac{\pi }{6}} \right) - 1} \simeq 2,974938154}$ και

${(PST)_{\min }} \simeq 8,680844709$ .

Αν επιλέξω σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων με αρχή το M(0,0)

και

κατακόρυφο άξονα την ευθεία

, θεωρήσω δε P(a,b)

με :

$a > 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,0 < b < \frac{3}{2}$ βρίσκω με τη βοήθεια λογισμικού

$\boxed{a = 3\sqrt 2 \sqrt {2\sin \left( {\frac{{2arc\tan \frac{{3\sqrt {303} }}{{101}}}}{3} + \frac{\pi }{6}} \right) - 1} \simeq 2,974938154}$ και

${(PST)_{\min }} \simeq 8,680844709$ .

Πράγματι :

Αν P(a,b)

θα επαληθεύει τον κύκλο ${x^2} + {\left( {y - \dfrac{3}{2}} \right)^2} = {3^2}\,\,\,\,\,$ , οπότε:

$b = \dfrac{3}{2} - \sqrt {9 - {a^2}} \,\,(1)$ $a > 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,0 < b < \dfrac{3}{2}$ .

Η εξίσωση της εφαπτομένης στο

είναι $ax + (y - \dfrac{3}{2})(a - \dfrac{3}{2}) = 9$ που για $y = - \dfrac{3}{2}$

δίδει την τετμημένη του $\boxed{{x_T} = \dfrac{{3(2b + 3)}}{{2a}}}$ . Η εξίσωση της $MP \to y = \dfrac{b}{a}x$ . Πάλι για

$y = - \dfrac{3}{2}$ έχω $\boxed{{x_S} = - \dfrac{{3a}}{{2b}}}$ οπότε $ST = \dfrac{{3(2b + 3)}}{{2a}} + \dfrac{{3a}}{{2b}}$ κι αφού το ύψος του $\vartriangle PST$

είναι $b + \dfrac{3}{2}$ το εμβαδόν του είναι $\dfrac{1}{2}\left( {b + \dfrac{3}{2}} \right)\left( {\dfrac{{3(2b + 3)}}{{2a}} + \dfrac{{3a}}{{2b}}} \right)$ που λόγω της (1)

δίδει: $\boxed{f(a) = \frac{{3\left( {3 - \sqrt {9 - {a^2}} } \right)\left( {9\sqrt {9 - {a^2}} + {a^2} - 27} \right)}}{{2\left( {2a\sqrt {9 - {a^2}} - 3} \right)}}}$

τα υπόλοιπα από τη μελέτη της συνάρτησης αυτής.

Αδιέξοδο σε ελάχιστο

Αδιέξοδο σε ελάχιστο

Re: Αδιέξοδο σε ελάχιστο

Re: Αδιέξοδο σε ελάχιστο

Μέλη σε σύνδεση