Τριπλή ισότητα 10

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9979
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τριπλή ισότητα 10

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιούλ 11, 2018 11:20 am

Τριπλή  ισότητα.png
Τριπλή ισότητα.png (9.66 KiB) Προβλήθηκε 181 φορές
Σε ημικύκλιο διαμέτρου AB , θεωρούμε σημείο S επί της εφαπτομένης του στο άκρο B και

φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ST . Πως θα επιλέξουμε το S , ώστε : BS=ST=TA ;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10430
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τριπλή ισότητα 10

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 11, 2018 11:53 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιούλ 11, 2018 11:20 am
Τριπλή ισότητα.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου AB , θεωρούμε σημείο S επί της εφαπτομένης του στο άκρο B και

φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ST . Πως θα επιλέξουμε το S , ώστε : BS=ST=TA ;
Αν \angle TAS=a τότε a=\angle TAS=\angle BTS= \angle SBT. Άρα AT=2R\cos a. Φέρνοντας την κάθετο από το S στην BT διαπιστώνουμε ότι BS=\dfrac { \frac {1}{2}  {BT} }{cos a}=  \frac {R\sin a}{cos a}. Η ισότητα AT=BS δίνει 2R\cos a = \dfrac {R\sin a}{cos a} , δηλαδή \sin a = 2 cos ^2 a= 2(1-\sin ^2 a). Λύνουμε την δευτεροβάθμια, και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7189
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τριπλή ισότητα 10

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιούλ 11, 2018 2:57 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιούλ 11, 2018 11:20 am
Τριπλή ισότητα.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου AB , θεωρούμε σημείο S επί της εφαπτομένης του στο άκρο B και

φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ST . Πως θα επιλέξουμε το S , ώστε : BS=ST=TA ;
Τριπλή ισότητα 10.png
Τριπλή ισότητα 10.png (12.55 KiB) Προβλήθηκε 143 φορές
\displaystyle x = 2R\sin \omega κι επειδή T\widehat SB=2\omega θα είναι \displaystyle BT = 2x\sin \omega  = 4R{\sin ^2}\omega

Με Πυθαγόρειο στο TAB προκύπτει ότι \displaystyle 4{\sin ^4}\omega  + {\sin ^2}\omega  - 1 = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\omega  < {{90}^0}} \boxed{ \sin \omega  = \sqrt {\frac{{\sqrt {17}  - 1}}{8}}}

Άρα: \boxed{x = R\sqrt {\frac{{\sqrt {17}  - 1}}{2}} }


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5953
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τριπλή ισότητα 10

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιούλ 11, 2018 6:09 pm

Παρεμφερές.
τριπλή ισότητα_KARKAR_10_7_18.png
τριπλή ισότητα_KARKAR_10_7_18.png (19.11 KiB) Προβλήθηκε 129 φορές

Θέτω : x = SB = ST = TA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = MB = MA. Έστω δε O το κέντρο του ημικυκλίου διαμέτρου AB = 2R

Προφανώς \vartriangle BOS \approx \vartriangle TAB και από Π. Θ. στο \vartriangle TAB έχω :

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{BS}}{{BO}} = \frac{{TB}}{{TA}} \hfill \\ 
  A{B^2} = T{A^2} + T{B^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{x}{R} = \frac{{2y}}{x} \hfill \\ 
  4{R^2} = {x^2} + 4{y^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. Με απαλοιφή μεταξύ τους το y έχω :

{x^4} + {R^2}{x^2} - 4{R^4} = 0 \Rightarrow \boxed{x = R\sqrt {\frac{{\sqrt {17}  - 1}}{2}} }


Το τμήμα κατασκευάζεται γεωμετρικά
κατασκευή τμήματος.png
κατασκευή τμήματος.png (13.69 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης