Σχέση σε κανονικά πολύγωνα περιττού αριθμού πλευρών

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 710
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Σχέση σε κανονικά πολύγωνα περιττού αριθμού πλευρών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Σάβ Ιούλ 14, 2018 9:29 pm

GEOMETRIA200=FB2097.png
GEOMETRIA200=FB2097.png (121.79 KiB) Προβλήθηκε 326 φορές
Έστω κανονικό πολύγωνο 2n+1, (n \epsilon N) πλευρών και G το κέντρο του.

Γράφουμε κύκλο (G, \rho) με \rho \leq r, όπου r η ακτίνα του εγγεγραμμένου στο πολύγωνο κύκλου, και

τους κύκλους που εφάπτονται σε δύο διαδοχικές πλευρές του πολυγώνου και εξωτερικά στον (G, \rho)

Από τυχαίο σημείο P του (G, \rho) φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα προς τους μικρούς κύκλους (ένα για καθένα από τους 2n+1 κύκλους)

Σχηματίζουμε το άθροισμα S, αυτών των τμημάτων ως εξής :

με θετικό πρόσημο τα εφ. τμήματα προς τους δύο κοντινότερους κύκλους και μετά με εναλλάξ το πρόσημο (-), (+) ξεκινώντας από το (-).

Δείξτε ότι S=0


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
min##
Δημοσιεύσεις: 109
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Σχέση σε κανονικά πολύγωνα περιττού αριθμού πλευρών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Σάβ Ιούλ 14, 2018 10:07 pm

Λάθος


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1488
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Σχέση σε κανονικά πολύγωνα περιττού αριθμού πλευρών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Ιούλ 15, 2018 2:09 pm

min## έγραψε:
Σάβ Ιούλ 14, 2018 10:07 pm
Λάθος
Με το θεώρημα του Casey πρέπει να έχουμε λύση.

Αν π. χ. το κανονικό πολύγωνο είναι το ισόπλευρο τρίγωνο, τότε ονομάζω με 0, 1,2,3 τους κύκλους (0, για τον κύκλο - σημείο P) και με τους συμβολισμούς του θεωρήματος έχω:


t_{02}t_{13}=t_{01}t_{23}+t_{12}t_{03}

Φανερά, όμως, t_{13}=t_{23}=t_{12}, οπότε μετά την απλοποίηση η παραπάνω ισότητα δίνει το ζητούμενο: t_{02}=t_{23}+t_{03}

κ.λπ.


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
min##
Δημοσιεύσεις: 109
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Σχέση σε κανονικά πολύγωνα περιττού αριθμού πλευρών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Κυρ Ιούλ 15, 2018 4:45 pm

Ακριβώς αυτό.Για τη γενικότερη περίπτωση:
Έστω a_{1},a_{2},...,a_{2n+1} οι κύκλοι και b_{1},b_{2},...,b_{2n+1} οι αντίστοιχες εφαπτομένες
και ότι το P βρίσκεται μεταξύ των a_{2n+1},a_{1}.Εφαρμόζοντας το θ. Casey στα P,a_{i},a_{i+n},a_{i+n+1} (ο πρώτος από αυτούς τους κύκλους βρίσκεται σε μια κορυφή, ενώ οι άλλοι δύο μοιράζονται την απέναντι πλευρά) είναι : b_{i}*x=(b_{i+nmod2n+1}-b_{i+n+1mod2n+1})*k(με (k,x τα μήκη των κοινών εφαπτομένων των a_{i},a_{i+n} και a_{i+n},a_{i+n+1} αντίστοιχα) για a_{i} τέτοιο ώστε να εφάπτεται στον κεντρικό κύκλο
αριστερά της μεσοκαθέτου της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου που ορίζεται από ταa_{n+1},a_{n+2} και -b_{i}*x=(b_{i+nmod2n+1}-b_{i+n+1mod2n+1})*k δεξιά αυτής.Είναι και (b_{1}+b_{2n+1})k=b_{n+1}x η εξαίρεση,καθώς το P βρίσκεται μεταξύ των a_{1},a_{2n+1}.Αθροίζοντας (η αφαιρώντας) τις σχέσεις που δημιουργούνται κατά μέλη, ώστε στην πλευρά του x να δημιουργηθεί το S,βλέπουμε ότι στο άλλο μέλος δημιουργείται 2S για n\equiv 0 mod2 και -2S για n\equiv 1 mod2.Άρα xS=2kS ή -2kS ανάλογα με την αρτιότητα του n.Στη δεύτερη περίπτωση αναγκαστικά S=0 για ευνόητους λόγους,ενώ στην πρώτη, αν S\neq 0,x=2k το οποίο είναι αδύνατο.Άρα S=0.Παρακάτω η περίπτωση του 7πλεύρου(n=3):


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1488
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Σχέση σε κανονικά πολύγωνα περιττού αριθμού πλευρών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Ιούλ 16, 2018 11:57 am

sakis1963 έγραψε:
Σάβ Ιούλ 14, 2018 9:29 pm
GEOMETRIA200=FB2097.png
Έστω κανονικό πολύγωνο 2n+1, (n \epsilon N) πλευρών και G το κέντρο του.

Γράφουμε κύκλο (G, \rho) με \rho \leq r, όπου r η ακτίνα του εγγεγραμμένου στο πολύγωνο κύκλου, και

τους κύκλους που εφάπτονται σε δύο διαδοχικές πλευρές του πολυγώνου και εξωτερικά στον (G, \rho)

Από τυχαίο σημείο P του (G, \rho) φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα προς τους μικρούς κύκλους (ένα για καθένα από τους 2n+1 κύκλους)

Σχηματίζουμε το άθροισμα S, αυτών των τμημάτων ως εξής :

με θετικό πρόσημο τα εφ. τμήματα προς τους δύο κοντινότερους κύκλους και μετά με εναλλάξ το πρόσημο (-), (+) ξεκινώντας από το (-).

Δείξτε ότι S=0


Αντίστοιχη σχέση με την αποδεικτέα ( υπάρχει σε πολλά βιβλία), ισχύει για τις απόστασες του P από τις κορυφές εγγεγραμμένου κανονικού πολυγώνου.

Σύμφωνα με αυτό, η πρόταση του συνδέσμου δίνει άμεση λύση. viewtopic.php?f=174&t=62206


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης