Σταθερό μήκος παρά την κίνηση

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ όλους .
Το θέμα που ακολουθεί είναι σύνθεση παλαιού θέματος (που είδα και βεβαίως μου άρεσε ) με άλλο θέμα που υπέβαλα πέρυσι.

: Σταθερό μήκος.PNG (6.67 KiB) Προβλήθηκε 886 φορές

Το (σταθερό) τρίγωνο ABC

είναι ορθογώνιο με AB=AC

και

το μέσον της

.

Τα σημεία E,Z

κινούνται πάνω στην

ώστε πάντοτε
το ημικύκλιο διαμέτρου

να ορίζει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των πράσινων κυκλικών τομέων του σχήματος.

Σχηματίζουμε το τετράγωνο MELI

εξωτερικά του τριγώνου. Αν

η τομή των LI, AZ

τότε :

Να εξεταστεί αν το έχει σταθερό μήκος

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Altrian · #2

Καλησπέρα,
Εστω x=AM=BM=CM

. Από την ισότητα των εμβαδών των κυκλικών τομέων έχουμε:

$\frac{\pi a^2}{8}+\frac{\pi b^2}{8}=\frac{\pi (2x-a-b)^2/4}{2}$ $\Rightarrow 2x^2-2x(a+b)+ab=0$ . (1)

Επίσης έχουμε: $\triangle AMZ\approx \triangle AIN\Rightarrow \frac{NI}{x-a}=\frac{2x-b}{x}$ $\Rightarrow$
$NI = \frac{(x-a)(2x-b)}{x}$ (2)

. και με βάση τις (1),(2)

προκύπτει:
LN=x=ct

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλημέρα.Αλέξανδρε σ' ευχαριστώ για το ενδιαφέρον και την ωραία σου λύση !
Σε επόμενη δημοσίευση θα δώσω και την προσωπική προσέγγιση. Ας δούμε κάτι ακόμη :

Να εξεταστεί αν η γωνία $\widehat{BCN}$ είναι -παρά την κίνηση των -επίσης σταθερή.
Φιλικά , Γιώργος.

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 08, 2018 11:51 am
Καλημέρα.Αλέξανδρε σ' ευχαριστώ για το ενδιαφέρον και την ωραία σου λύση !
Σε επόμενη δημοσίευση θα δώσω και την προσωπική προσέγγιση. Ας δούμε κάτι ακόμη :

Να εξεταστεί αν η γωνία $\widehat{BCN}$ είναι -παρά την κίνηση των -επίσης σταθερή.
Φιλικά , Γιώργος.

Καλό μεσημέρι!
Το πρώτο ερώτημα έχει ήδη απαντηθεί (δεν γράφω τη λύση μου γιατί μοιάζει πολύ με του Αλέξανδρου).

: G.M.png (11.25 KiB) Προβλήθηκε 748 φορές

Είναι $\displaystyle NL|| = CM,$ άρα το CNLM

είναι παραλληλόγραμμο και $\boxed{B\widehat CN=N\widehat LM=45^0}$

#5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 05, 2018 11:43 pm
Χαιρετώ όλους .
Το θέμα που ακολουθεί είναι σύνθεση παλαιού θέματος (που είδα και βεβαίως μου άρεσε ) με άλλο θέμα που υπέβαλα πέρυσι.
Σταθερό μήκος.PNG
Το (σταθερό) τρίγωνο είναι ορθογώνιο με και το μέσον της .

Τα σημεία κινούνται πάνω στην ώστε πάντοτε
το ημικύκλιο διαμέτρου να ορίζει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των πράσινων κυκλικών τομέων του σχήματος.

Σχηματίζουμε το τετράγωνο εξωτερικά του τριγώνου. Αν η τομή των τότε :

Να εξεταστεί αν το έχει σταθερό μήκος

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Αυτό που επεδίωκε από την αρχή ο Γιώργος.

: G.M.II.png (19.12 KiB) Προβλήθηκε 686 φορές

$\displaystyle \frac{{\pi E{Z^2}}}{8} = \frac{{\pi {R^2}}}{8} + \frac{{\pi {r^2}}}{8} \Leftrightarrow E{Z^2} = {R^2} + {r^2}$ και σύμφωνα με αυτήν θα είναι $\boxed{E\widehat AZ=45^0}$

To AEIN

είναι εγγράψιμο ( $N\widehat AE+N\widehat IE=180^0$ ), οπότε $\displaystyle A\widehat NE = A\widehat IE = {45^0} = A\widehat CE.$

Άρα τα σημεία A, E, I, N, C

είναι ομοκυκλικά, οπότε και $E\widehat CN=E\widehat AN=45^0=I\widehat LM.$ Επομένως:

CN||AB||ML,

το

είναι παραλληλόγραμμο και $\boxed{LN=\frac{a}{2}=ct}$

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλημέρα! Πράγματι Γιώργο κατά την κατασκευή της άσκησης είχα κατά νου αρχικά
αυτά που γράφεις στην α΄ γραμμή και με χρήση αυτού προκύπτει άμεσα LN=AM=BC/2

Την β' σκέψη μου την ...διάβασες ακριβώς !! Όπως γράφεις και συ μπορούμε εναλλακτικά να δείξουμε το αρχικό ζητούμενο
βρίσκοντας πρώτα ότι το MLNC

είναι παραλληλόγραμμο , για τούτο και ζήτησα τον υπολογισμό της 45άρας γωνίας...

Να μην ξεχάσω Γιώργο να σ΄ευχαριστήσω για την πλήρη κάλυψη ..

.. ενός ακόμη εαρινού θέματος : ΕΔΩ...Φιλικά Γιώργος.

Σταθερό μήκος παρά την κίνηση

Σταθερό μήκος παρά την κίνηση

Re: Σταθερό μήκος παρά την κίνηση

Re: Σταθερό μήκος παρά την κίνηση

Re: Σταθερό μήκος παρά την κίνηση

Re: Σταθερό μήκος παρά την κίνηση

Re: Σταθερό μήκος παρά την κίνηση

Μέλη σε σύνδεση