Μέγιστη τιμή γινομένου

#1

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC

πλευράς $a=\sqrt 3.$ Σημείο

κινείται στην περίμετρο και στο εσωτερικό του τριγώνου.

Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου $SA\cdot SB\cdot SC$ και τη θέση του

για την οποία επιτυγχάνεται αυτό.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 16, 2018 2:21 pm
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς $a=\sqrt 3.$ Σημείο κινείται στην περίμετρο και στο εσωτερικό του τριγώνου.

Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου $SA\cdot SB\cdot SC$ και τη θέση του για την οποία επιτυγχάνεται αυτό.

Θα θεωρήσω το ισόπλευρο με κορυφές τα $(1,0),(-1,0),(0,\sqrt{3})$

Αν S(x,y)

τότε

$(SA.SB.SC)^{2}=(x^{2}+(y-\sqrt{3})^{2})((x+1)^{2}+y^{2})((x-1)^{2}+y^{2})=$
$=(x^{2}+(y-\sqrt{3})^{2})((x^{2}+1+y^{2})^{2}-4x^{2})$

Αν y=0

εύκολα βλέπουμε ότι έχει μέγιστη τιμή στο x=0

το

.

Λόγω συμμετρίας αν το

βρίσκεται στην περίμετρο του τριγώνου έχουμε μέγιστο στα μέσα των πλευρών το οποίο
είναι $\sqrt{3}$ .

Αν το ισόπλευρο έχει πλευρά

τότε το μέγιστο είναι $\sqrt{3}(\frac{a}{2})^{3}$

Μένει να αποδείξουμε ότι αν το

βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο δεν έχουμε μέγιστο.

Αν θεωρήσουμε το

σταθερό για $t=x^{2}$

η $(x^{2}+(y-\sqrt{3})^{2})((x^{2}+1+y^{2})^{2}-4x^{2})$

γίνεται $f(t)=(t+(y-\sqrt{3})^{2})((t+1+y^{2})^{2}-4t)$

Με δεύτερη παράγωγο βλέπουμε ότι η

είναι κυρτή οπότε παίρνει μέγιστη τιμή

στις ακραίες θέσεις του

.

Για

η τιμή αυτή είναι μικρότερη του

ενώ για την άλλη ακραία τιμή
το σημείο βρίσκεται πάνω στην περίμετρο.

Αρα το μέγιστο είναι στην περίμετρο.

Μέγιστη τιμή γινομένου

Μέγιστη τιμή γινομένου

Re: Μέγιστη τιμή γινομένου

Μέλη σε σύνδεση