Συνευθειακά και τα τέσσερα

Συντονιστής: gbaloglou

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 889
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Συνευθειακά και τα τέσσερα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Νοέμ 29, 2018 12:42 am

Καλημέρα. Η σύνθεση που ακολουθεί έχει τα ερείσματά της.
Συνευθειακά και τα τέσσερα.PNG
Συνευθειακά και τα τέσσερα.PNG (11.87 KiB) Προβλήθηκε 180 φορές
Στο τρίγωνο ABC είναι AB=4..AC=6 ..\widehat{A}=\widehat{B}+2\widehat{C} και I το έγκεντρον αυτού.

Ο έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται της BC στο D , τέμνει το τμήμα CI στο T ενώ η DH είναι διάμετρός του.Ακόμη E \in BC ώστε CE=3.

Να εξεταστεί αν τα σημεία A,H,T,E είναι συνευθειακά.
Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6003
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συνευθειακά και τα τέσσερα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Νοέμ 29, 2018 2:09 pm

Θεωρώ τρίγωνο ABC με BA = 4\,\,,AC = 6\,\,,CB = 8

Γράφω τον εγγεγραμμένο του κύκλο (I,r) που εφάπτεται στα Q,\,\,P,\,\,D των πιο πάνω πλευρών αντίστοιχα .

Αφού είναι γνωστές οι πλευρές του τριγώνου μπορώ να υπολογίσω όλα τα στοιχεία του τριγώνου . Έτσι βρίσκω \left\{ \begin{gathered} 
  r = \frac{{\sqrt {15} }}{3} \hfill \\ 
  \cos C = \frac{7}{8} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. καθώς και \left\{ \begin{gathered} 
  AQ = AP = 1 \hfill \\ 
  BQ = BD = 3 \hfill \\ 
  CD = CP = 5 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Φέρνω τώρα τη διάμετρο \overline {DIH} και την AH που τέμνει τον κύκλο στο T και τηνBC στο E. Θα δείξω ότι έχει τις προδιαγαφές του τριγώνου της εκφώνησης .

Επειδή DB = 3\,\, θα είναι ( ως γνωστό) και CE = 3. Αν Z σημείο της BC με CZ = CA = 6 θα είναι \widehat \theta  = \widehat B + \widehat \phi ως εξωτερική στο \vartriangle AZB, αλλά και \widehat A = \widehat \theta  + \widehat \phi

γιατί στο ισοσκελές τρίγωνο CAZ οι προσκείμενες γωνίες της βάσης του είναι ίσες , οπότε : με απαλοιφή της \widehat \theta έχω \widehat A - \widehat B = 2\widehat \phi .
και τα τέσερα στην ίδια ευθεία.png
και τα τέσερα στην ίδια ευθεία.png (36.93 KiB) Προβλήθηκε 139 φορές
Αλλά μπορούμε εύκολα να επαληθεύσουμε τριγωνομετρικά ότι \widehat A - \widehat B = 2\widehat C και άρα \boxed{\widehat C = \widehat \phi }

Τώρα τα τρίγωνα ABC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZBA είναι όμοια και από το λόγο ομοιότητας \dfrac{{CB}}{{AB}} = 2 έχω : \boxed{ZA = 3\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZB = 2} , οπότε και το τρίγωνο ZAE είναι ισοσκελές .

Ας είναι τώρα KL η χορδή που η AZ τέμνει τον κύκλο . Επειδή \left\{ \begin{gathered} 
  {1^2} = A{Q^2} = AL \cdot AK = AL(AL + LK) \hfill \\ 
  {1^2} = D{Z^2} = ZK \cdot ZL = ZK(ZK + KL) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. θα έχω : (AL - ZK)AZ = 0 \Rightarrow \boxed{AL = ZK}

Τα ευθύγραμμα τμήματα AZ\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KL έχουν κοινό μέσο M.

Αρκεί τώρα να δείξω ότι τα σημεία C\,\,,\,\,T\,\,,\,\,I\,\,,\,M ανήκουν στην ίδια ευθεία .

Προφανώς :

1. Η CM μεσοκάθετός στο AZ

2. Η IM μεσοκάθετός στα KL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AZ

3. Υπολογίζω ( * ) τα AT = 2\sqrt 6 \,\,\kappa \alpha \iota \,\,TE = \sqrt 6 και άρα \boxed{\dfrac{{CA}}{{CE}} = \dfrac{{TA}}{{TE}}}

δηλαδή η CT φορέας της διχοτόμου της γωνίας \widehat C οπότε η CT μεσοκάθετος στο AZ.

( * ) Θ. συνημίτονου στο \vartriangle ACZ: \cos \theta  = \dfrac{1}{4}. Ομοίως στο \vartriangle ACE: AE = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}

Π. Θ. στο \vartriangle DEH: EH = \dfrac{{4\sqrt 6 }}{3}. E{D^2} = ET \cdot EH \Rightarrow 4 = ET\dfrac{{4\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow \boxed{ET = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}}

Άρα AT = AE - ET = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2} - \dfrac{{\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow \boxed{AT = \sqrt 6 }


Altrian
Δημοσιεύσεις: 62
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Συνευθειακά και τα τέσσερα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Πέμ Νοέμ 29, 2018 4:31 pm

Καλησπέρα Γιώργο,

Εστω σημείο F στην CB με CF=CA=6 και PA=x. Με δεδομένο ότι: \angle A=\angle B+2\angle C έχουμε:
\angle CAF=90-\frac{\angle C}{2}=\frac{\angle A+\angle B}{2}=\frac{\angle B+2\angle C+\angle B}{2}=\angle B+\angle C=\angle A-\angle C δηλ. \angle FAB=\angle C.
Από τα όμοια τρίγωνα \triangle AFB,.\triangle ABC έχω: \frac{AB}{FB}=\frac{CB}{AB}\Leftrightarrow \frac{4}{4-2x}=\frac{10-2x}{4}\Rightarrow x^{2}-7x+6=0, με αποδεκτή ρίζα x=1.
Εχουμε τότε ότι CE=DB=3 και ως γνωστό (πλέον) τα A,H,E είναι συνευθειακά με την συγκεκριμένη ευθεία να τέμνει τον έγκυκλο στο T. Αρκεί να δείξουμε επομένως ότι: \angle ITD=\angle TDC+\frac{\angle C}{2}..
Πράγματι: \angle ITD=\angle IDT=\angle HIT/2=\frac{\angle C+\angle PIT}{2}=\frac{\angle C}{2}+\angle PDT=\frac{\angle C}{2}+\angle TPD=\frac{\angle C}{2}+\angle TDC

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Συνημμένα
4.png
4.png (33.71 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 889
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Συνευθειακά και τα τέσσερα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Δεκ 07, 2018 12:20 am

Χαιρετώ. Ευχαριστώ τους Νίκο και Αλέξανδρο για τον κόπο και χρόνο που διέθεσαν και βεβαίως για τις ωραίες λύσεις τους !

Νίκο ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ και πάντοτε με υγεία ! ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ και στον Νίκο , αδελφό του Αλέξανδρου!

Σύντομη περιγραφή μιας ακόμη προσέγγισης του θέματος.
Η σχέση \widehat{A}=\widehat{B}+2\widehat{C} ισοδυναμεί με την \widehat{A}=90^{0}+\widehat{C}/2\Leftrightarrow a^{2}=ab+c^{2}. Για c=4...b=6 παίρνουμε BC=a=8

Ακόμη είναι CE=3=BD και συνεπώς όπως είδαμε ΕΔΩ (αφετηρία για την δημιουργία του παρόντος) τα A,H,E είναι συνευθειακά.

Τέλος μπορούμε να υπολογίσουμε τα μήκη των AT,TE,AE , βρίσκουμε AE=AT+TE
που σημαίνει ότι και το T ανήκει στην ευθεία των A,H,E.
Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης