Σελίδα 1 από 1

Μετρική σε ισόπλευρο

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 09, 2019 12:36 pm
από george visvikis
Πιθανόν να έχει συζητηθεί ξανά. Στη συλλογή ασκήσεων στο ισόπλευρο δεν την βρήκα (εκτός κι αν μου διέφυγε).

Το θέμα είναι ότι έχω λύση με Αναλυτική και ζητάω Ευκλείδεια λύση στην παρακάτω άσκηση:
Μετρική σε ισόπλευρο.png
Μετρική σε ισόπλευρο.png (12.29 KiB) Προβλήθηκε 676 φορές
Αν M είναι τυχαίο σημείο στον περίκυκλο ισοπλεύρου τριγώνου ABC πλευράς a, να υπολογίσετε το άθροισμα

MA^4+MB^4+MC^4.

Re: Μετρική σε ισόπλευρο

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 09, 2019 2:53 pm
από Ορέστης Λιγνός
george visvikis έγραψε:
Σάβ Φεβ 09, 2019 12:36 pm
Πιθανόν να έχει συζητηθεί ξανά. Στη συλλογή ασκήσεων στο ισόπλευρο δεν την βρήκα (εκτός κι αν μου διέφυγε).

Το θέμα είναι ότι έχω λύση με Αναλυτική και ζητάω Ευκλείδεια λύση στην παρακάτω άσκηση:
Μετρική σε ισόπλευρο.png
Αν M είναι τυχαίο σημείο στον περίκυκλο ισοπλεύρου τριγώνου ABC πλευράς a, να υπολογίσετε το άθροισμα MA^4+MB^4+MC^4.
Καλησπέρα Γιώργο.

Από Πτολεμαίο, είναι AM \cdot a=AB \cdot MC + AC \cdot MB \Rightarrow MA=MB+MC.

Έστω, BM=k, MC=\ell.

Είναι, \angle BMC=180^\circ-\angle A=120^\circ.

Τότε, από Ν. Συνημιτόνων στο \vartriangle BMC ή αλλιώς (*) k^2+k\ell+\ell^2=a^2.

Όμως, είναι MA^4+MB^4+MC^4=(k+\ell)^4+k^4+\ell^4=2(k^2+k\ell+\ell^2)^2=2a^4. Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

(*) Αλλιώς, φέρνοντας BQ \perp MC. Είναι, \angle BMQ=60^\circ, \anglw QBM=30^\circ.

Οπότε, BQ=\dfrac{k\sqrt{3}}{2}, και QM=\dfrac{k}{2}. Με Π.Θ., είναι \dfrac{3k^2}{4}+(\dfrac{k}{2}+\ell)^2=a^2 \Rightarrow k^2+k\ell+\ell^2=a^2.

Re: Μετρική σε ισόπλευρο

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 09, 2019 6:47 pm
από george visvikis
Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Σάβ Φεβ 09, 2019 2:53 pm
george visvikis έγραψε:
Σάβ Φεβ 09, 2019 12:36 pm
Πιθανόν να έχει συζητηθεί ξανά. Στη συλλογή ασκήσεων στο ισόπλευρο δεν την βρήκα (εκτός κι αν μου διέφυγε).

Το θέμα είναι ότι έχω λύση με Αναλυτική και ζητάω Ευκλείδεια λύση στην παρακάτω άσκηση:

Μετρική σε ισόπλευρο.png
Αν M είναι τυχαίο σημείο στον περίκυκλο ισοπλεύρου τριγώνου ABC πλευράς a, να υπολογίσετε το άθροισμα MA^4+MB^4+MC^4.
Καλησπέρα Γιώργο.

Από Πτολεμαίο, είναι AM \cdot a=AB \cdot MC + AC \cdot MB \Rightarrow MA=MB+MC.

Έστω, BM=k, MC=\ell.

Είναι, \angle BMC=180^\circ-\angle A=120^\circ.

Τότε, από Ν. Συνημιτόνων στο \vartriangle BMC ή αλλιώς (*) k^2+k\ell+\ell^2=a^2.

Όμως, είναι MA^4+MB^4+MC^4=(k+\ell)^4+k^4+\ell^4=2(k^2+k\ell+\ell^2)^2=2a^2. Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

(*) Αλλιώς, φέρνοντας BQ \perp MC. Είναι, \angle BMQ=60^\circ, \anglw QBM=30^\circ.

Οπότε, BQ=\dfrac{k\sqrt{3}}{2}, και QM=\dfrac{k}{2}. Με Π.Θ., είναι \dfrac{3k^2}{4}+(\dfrac{k}{2}+\ell)^2=a^2 \Rightarrow k^2+k\ell+\ell^2=a^2.
Πολύ ωραία Ορέστη :clap2:

Re: Μετρική σε ισόπλευρο

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 09, 2019 9:50 pm
από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Γιώργο , το θέμα έχει συζητηθεί στην παρακάτω δημοσίευση
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... BC#p215548
Xαίρομαι πολύ που ασχολήθηκε με το θέμα ο Ορέστης Λιγνός.
Ορέστη μου να είσαι πάντα καλά...

Re: Μετρική σε ισόπλευρο

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Φεβ 10, 2019 12:13 am
από george visvikis
Σ' ευχαριστώ Τηλέμαχε για την παραπομπή. Δεν το θυμόμουν καθόλου αν και είχα

συμμετάσχει σε ένα ερώτημα. Αν δεν δοθεί άλλη λύση, θα ανεβάσω μία με Αναλυτική.

Re: Μετρική σε ισόπλευρο

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Φεβ 10, 2019 9:38 am
από R BORIS
AN \displaystyle{S_n=MA^n+MB^n+MC^n,n\in N} μπορεί να αποδειχθεί ότι μόνο για \displaystyle{n=2,n=4} το \displaystyle{S_n} είναι σταθερό δηλαδή ανεξάρτητο του \displaystyle{n} H λύση με μιγαδικούς βρίσκεται στο βιβλίο μου Μιγαδικοί και μετ/μοί Moebius σελ 127 ασκηση Α11

Re: Μετρική σε ισόπλευρο

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Φεβ 10, 2019 1:16 pm
από STOPJOHN
george visvikis έγραψε:
Σάβ Φεβ 09, 2019 12:36 pm
Πιθανόν να έχει συζητηθεί ξανά. Στη συλλογή ασκήσεων στο ισόπλευρο δεν την βρήκα (εκτός κι αν μου διέφυγε).

Το θέμα είναι ότι έχω λύση με Αναλυτική και ζητάω Ευκλείδεια λύση στην παρακάτω άσκηση:

Μετρική σε ισόπλευρο.png
Αν M είναι τυχαίο σημείο στον περίκυκλο ισοπλεύρου τριγώνου ABC πλευράς a, να υπολογίσετε το άθροισμα

MA^4+MB^4+MC^4.
Ειναι γνωστή η άσκηση MA=MB+MC, θέτω MB=x,MC=y




Oπότε θα υπολογισθεί (x+y)^{4}+x^{4}+y^{4}
Για τα εμβαδά των τριγώνων ABC,MBC είναι \dfrac{(ABC)}{(MBC)}=\dfrac{a^{2}}{xy}\Rightarrow 4(MBC)=\sqrt{3}xy\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.4(MT).a=\sqrt{3}xy\Leftrightarrow MT=\dfrac{\sqrt{3xy}}{2a},(1)

απο το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο MBD,BD=\dfrac{ax}{x+y},DC=\dfrac{ay}{x+y} και MD.AD=BD.DC συνεπώς MD.AD=\dfrac{a^{2}xy}{(x+y)^{2}},(2), MD+AD=x+y,(3) ,

Τα ορθογώνια τρίγωνα MTD,DAE είναι όμοια άρα \dfrac{2MT}{a\sqrt{3}}=\dfrac{MD}{AD} και λόγω της (1),\dfrac{MD}{AD}=\dfrac{xy}{a^{2}},(4) (2),(3),(4)\Rightarrow AD=\dfrac{a^{2}}{x+y},AD=\dfrac{(x+y)a^{2}}{xy+a^{2}}

Συνεπώς

(x+y)^{2}=xy+a^{2}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=a^{2}-xy,(*), (x+y)^{4}+x^{4}+y^{4}=

               (a^{2}+xy)^{2}+(a^{2}-xy)^{2}-2x^{^{2}}y^{2}=2.a^{4}



Γιάννης

Re: Μετρική σε ισόπλευρο

Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 11, 2019 5:03 pm
από george visvikis
Μία με Αναλυτική. Έστω a=2k η πλευρά του ισοπλεύρου ABC, του οποίου οι συντεταγμένες των

κορυφών φαίνονται στο σχήμα και M(x,y) ένα τυχαίο σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου.
Μετρική σε ισόπλευρο..png
Μετρική σε ισόπλευρο..png (18.7 KiB) Προβλήθηκε 455 φορές
Είναι, \displaystyle {(x - k)^2} + {\left( {y - \frac{{k\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{4{k^2}}}{3} \Leftrightarrow \boxed{{x^2} + {y^2} - 2kx - \frac{{2ky\sqrt 3 }}{3} = 0} (1)

\displaystyle M{A^4} + M{B^4} + M{C^4} = {\left( {{{(x - k)}^2} + {{(y - k\sqrt 3 )}^2}} \right)^2} + {({x^2} + {y^2})^2} + {\left( {{{(x - 2k)}^2} + {y^2}} \right)^2}

\displaystyle \mathop  = \limits^{(1)} {\left( {4{k^2} - \frac{{4ky\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} + {\left( {2kx + \frac{{2ky\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} + {\left( {4{k^2} - 2kx + \frac{{2ky\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}=...

\displaystyle  = 32{k^4} + 8{k^2}{x^2} + 8{k^2}{y^2} - 16{k^3}x - \frac{{16{k^3}y\sqrt 3 }}{3} = 32{k^4} + 8{k^2}\left( {{x^2} + {y^2} - 2kx - \frac{{2ky\sqrt 3 }}{3}} \right)\mathop  = \limits^{(1)} 32{k^4}

Επειδή όμως a=2k, θα είναι \boxed{MA^4+MB^4+MC^4=2a^4}