Χαρταετός λόγω ίσων γωνιών

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1088
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Χαρταετός λόγω ίσων γωνιών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Φεβ 14, 2019 11:58 pm

Χαιρετώ.Το θέμα που ακολουθεί έχει την αφετηρία του σε άκρως ελκυστικό λήμμα που είδα σε παλαιό θέμα .
Οι γνώστες του λήμματος παρακαλούνται να καθυστερήσουν (για 2 ή 3 μέρες) σχετική παραπομπή με την προσδοκία να δούμε -και να χαρούμε-νέες λύσεις !
14-2-19 χαρταετός.PNG
14-2-19 χαρταετός.PNG (13.93 KiB) Προβλήθηκε 445 φορές
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC. Στο εσωτερικό του θεωρούμε σημείο E που ανήκει στην μεσοκάθετο του AB.

Επί της ημιευθείας AE προσδιορίζουμε το Z ώστε \widehat{ABZ}=\widehat{BCE}.

Αν K το περίκεντρο του τριγώνου ABZ και H το συμμετρικό του K ως προς τη BZ τότε

Να εξεταστεί αν το CABH είναι χαρταετός , δηλ αν είναι και HB=HC.

Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1475
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Χαρταετός λόγω ίσων γωνιών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Φεβ 15, 2019 1:09 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Πέμ Φεβ 14, 2019 11:58 pm
Χαιρετώ.Το θέμα που ακολουθεί έχει την αφετηρία του σε άκρως ελκυστικό λήμμα που είδα σε παλαιό θέμα .
Οι γνώστες του λήμματος παρακαλούνται να καθυστερήσουν (για 2 ή 3 μέρες) σχετική παραπομπή με την προσδοκία να δούμε -και να χαρούμε-νέες λύσεις !
14-2-19 χαρταετός.PNG
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC. Στο εσωτερικό του θεωρούμε σημείο E που ανήκει στην μεσοκάθετο του AB.

Επί της ημιευθείας AE προσδιορίζουμε το Z ώστε \widehat{ABZ}=\widehat{BCE}.

Αν K το περίκεντρο του τριγώνου ABZ και H το συμμετρικό του K ως προς τη BZ τότε

Να εξεταστεί αν το CABH είναι χαρταετός , δηλ αν είναι και HB=HC.

Ευχαριστώ , Γιώργος.
Γεια σου Γιώργο.

Μία λύση με μπόλικη Τριγωνομετρία!

Έστω, \angle ZBC=s, \angle EAC=k, \angle ABE=\angle BAE=\phi, \angle BCZ=x.

Είναι, KB=KZ, και το H είναι συμμετρικό του K ως προς την BZ, οπότε HB=HZ.

Αν δείξω ότι το \angle BHZ=2\angle ZCB τότε θα είχα ότι το H είναι το περίκεντρο του \vartriangle BHC, οπότε HB=HC.

Για να δείξω ότι \angle BHZ=2\angle ZCB αρκεί να δείξω ότι \angle BAZ=\angle BCZ (αφού είναι 2\angle BAZ=\angle BKZ=\angle BHZ).

Αρκεί δηλαδή \phi=x.

i) Στο τρίγωνο \vartriangle ABC με σεβιανές τις AE,BE,CE η τριγωνομετρική μορφή του Ceva δίνει (μετά από απλοποιήσεις) \sin (\omega+s-\phi) \cdot \sin s=\sin k \cdot \sin \omega (1).

ii) Στο τρίγωνο \vartriangle ABC με σεβιανές τις AZ,BZ,CZ πάλι το trig Ceva δίνει \sin \phi \cdot \sin(\omega+s-x) \cdot \sin s=\sin k \cdot \sin x \cdot \sin \omega (2).

Συνδυάζοντας τις (1), (2) προκύπτει \dfrac{\sin(\omega+s-\phi)}{\sin \phi}=\dfrac{\sin(\omega+s-x)}{\sin x}.

Θεωρώ την συνάρτηση f(t)=\dfrac{\sin(\omega+s-t)}{\sin t}.

Αυτή, εύκολα προκύπτει πως είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε αφού έχουμε f(\phi)=f(x), θα είναι και \phi=x, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1088
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Χαρταετός λόγω ίσων γωνιών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Φεβ 21, 2019 12:41 am

Καλημέρα σε όλους. Σ' ευχαριστώ Ορέστη για την ευέλικτη αντιμετώπιση του θέματος!
Λίγα λόγια για τη δημιουργία του παρόντος. Αφορμή ήταν το λήμμα που ακολουθεί
(το παρουσιάζει ο αγαπητός Κώστας Βήττας σε παλαιό θέμα , αλλά τώρα δεν μπορώ να το βρώ).
Λήμμα Κ.Β.PNG
Λήμμα Κ.Β.PNG (9.79 KiB) Προβλήθηκε 348 φορές
Λήμμα:Στο εσωτερικό ισοσκελούς ( με AB=AC ) τριγώνου ABC θεωρούμε τα σημεία E,Z ώστε να ισχύουν A\widehat{B}E=B\widehat{C}Z και A\widehat{C}E=C\widehat{B}Z.
Τότε τα σημεία A,E,Z είναι συνευθειακά
.

Έθεσα το E στην μεσοκάθετο του AB για να είναι \widehat{BAE}=\theta =\widehat{BCZ}.
Με σκοπό οι περίκυκλοι των τριγώνων ABZ και CBZ να είναι ίσοι με ακτίναR=\dfrac{BZ}{2\eta \mu \theta } 
.

Οι κύκλοι αυτοί έχουν κοινή χορδή την BZ που είναι μεσοκάθετος της διακέντρου αυτών .
Έτσι το συμμετρικό του ενός κέντρου ως προς την BZ είναι το κέντρο του άλλου κύκλου.. Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης