Με επιφοίτηση

KARKAR · #1

: Με επιφοίτηση.png (12.65 KiB) Προβλήθηκε 820 φορές

Στην προέκταση της πλευράς DC=a

, τετραγώνου ABCD

θεωρούμε σημείο

, ώστε :

.

Η

τέμνει τον περίκυκλο του τετραγώνου στο

, ενώ η

τέμνει την

στο

.

α) Βρείτε τον λόγο : $\dfrac{(SPT)}{(ABCD)}$ και επιβεβαιώστε τον για την περίπτωση που : d=2a

.

β) Βρείτε το μέγιστο του τμήματος

. Επίκληση του Αγίου Πνεύματος επιτρεπτή !

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 17, 2019 8:22 am
Με επιφοίτηση.pngΣτην προέκταση της πλευράς , τετραγώνου θεωρούμε σημείο , ώστε : .

Η τέμνει τον περίκυκλο του τετραγώνου στο , ενώ η τέμνει την στο .

α) Βρείτε τον λόγο : $\dfrac{(SPT)}{(ABCD)}$ και επιβεβαιώστε τον για την περίπτωση που : .

β) Βρείτε το μέγιστο του τμήματος . Επίκληση του Αγίου Πνεύματος επιτρεπτή !

α.Έστω $\displaystyle a = 1$ .Ισχύει, $\displaystyle S{A^2} = {\left( {d + 1} \right)^2} + 1 = {d^2} + 2d + 2$ και $\displaystyle SA \cdot ST = {d^2} + d \Rightarrow \frac{{ST}}{{SA}} = \frac{{{d^2} + d}}{{{d^2} + 2d + 2}}$

$\displaystyle \frac{{d + 1}}{{AK}} = \frac{{ST}}{{TA}} \Rightarrow \frac{{d + 1}}{{AK + d + 1}} = \frac{{ST}}{{SA}} \Rightarrow ..AK = \frac{{d + 2}}{d} \Rightarrow BK = AK - 1 = \frac{2}{d}$

$\displaystyle \frac{{SP}}{{BP}} = \frac{{d + 1}}{{\frac{2}{d}}} = \frac{{d\left( {d + 1} \right)}}{2} \Rightarrow \frac{{SP}}{{SB}} = \frac{{{d^2} + d}}{{{d^2} + d + 2}}$

$\displaystyle \frac{{\left( {SPT} \right)}}{{\left( {ABCD} \right)}} = \frac{{\left( {SPT} \right)}}{{2\left( {DAB} \right)}} = \frac{{\left( {SPT} \right)}}{{2\left( {SAP} \right)}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{ST}}{{SA}} \cdot \frac{{SP}}{{SB}} \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {SPT} \right)}}{{\left( {ABCD} \right)}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{{\left( {{d^2} + d} \right)}^2}}}{{\left( {{d^2} + 2d + 2} \right)\left( {{d^2} + d + 2} \right)}}}$

Για $\displaystyle d = 2 \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {SPT} \right)}}{{\left( {ABCD} \right)}} = \frac{9}{{40}}}$

β. $\displaystyle \vartriangle SAD \simeq \vartriangle DBT \Rightarrow \frac{{DT}}{{DS}} = \frac{{BD}}{{AS}} \Rightarrow \frac{{DT}}{{d + 1}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {{d^2} + 2d + 2} }} \Rightarrow DT = \frac{{\sqrt 2 \left( {d + 1} \right)}}{{\sqrt {{d^2} + 2d + 2} }}$

Στο $\displaystyle \vartriangle DPB$ με διατέμνουσα $\displaystyle ETS$ έχουμε

$\displaystyle \frac{{TP}}{{TD}} \cdot \frac{{DE}}{{EB}} \cdot \frac{{SB}}{{SP}} = 1 \Rightarrow \frac{{TP}}{{TD}} \cdot \frac{{d + 1}}{1} \cdot \frac{{{d^2} + d + 2}}{{{d^2} + d}} = 1 \Rightarrow \boxed{TP = \frac{d}{{{d^2} + d + 2}} \cdot \frac{{\sqrt 2 \left( {d + 1} \right)}}{{\sqrt {{d^2} + 2d + 2} }}}$

Η μελέτη της παραπάνω συνάρτησης για $\displaystyle d > 1$ ......αφήνεται στο Άγιο πνεύμα

: Με επιφοίτηση.png (14.65 KiB) Προβλήθηκε 681 φορές

KARKAR · #3

Ευχαριστώ τον Μιχάλη για την - κοπιαστική - του λύση , η οποία , βεβαίως , είναι σωστή . Καταφεύγοντας

στο "Άγιο Πνεύμα" ( αγγλιστί "Wolframalpha'" ) βρίσκουμε ότι $TP_{max}=0.34287$ για d=1.5766

.

Με επιφοίτηση

Με επιφοίτηση

Re: Με επιφοίτηση

Re: Με επιφοίτηση

Μέλη σε σύνδεση