Σελίδα 1 από 1

Διαφορά αθροισμάτων

Δημοσιεύτηκε: Τρί Αύγ 20, 2019 10:27 am
από KARKAR
Διαφορά  αθροισμάτων.png
Διαφορά αθροισμάτων.png (11 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές
Σημείο S κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB αλλά δεν συμπίπτει με τα A,B . Η ευθεία

η οποία διέρχεται από το A και από το μέσο M της SB , τέμνει το τόξο στο σημείο T .

α) Δείξτε ότι : AS+SB>AT+TB .

β) Βρείτε τη θέση του S για την οποία μεγιστοποιείται το : (AS+SB)-(AT+TB) .

Re: Διαφορά αθροισμάτων

Δημοσιεύτηκε: Τρί Αύγ 20, 2019 11:10 pm
από S.E.Louridas
Για το 1ο ερώτημα:

Στο σχήμα που ακολουθεί έχουμε

\angle CDA = \angle CBA = \frac{\pi }{4} + MBA,

\angle DCA = \frac{\pi }{4} + \angle DEB = \frac{\pi }{4} + \angle BAM, \angle BAM < \angle MBA,

οπότε παίρνουμε: \angle DCA < \angle CDA \Rightarrow AD < AC \Rightarrow AT + TB < AS + SB.
geo.png
geo.png (30.63 KiB) Προβλήθηκε 338 φορές

Re: Διαφορά αθροισμάτων

Δημοσιεύτηκε: Τετ Αύγ 21, 2019 11:32 am
από george visvikis
KARKAR έγραψε:
Τρί Αύγ 20, 2019 10:27 am
Διαφορά αθροισμάτων.pngΣημείο S κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB αλλά δεν συμπίπτει με τα A,B . Η ευθεία

η οποία διέρχεται από το A και από το μέσο M της SB , τέμνει το τόξο στο σημείο T .

α) Δείξτε ότι : AS+SB>AT+TB .

β) Βρείτε τη θέση του S για την οποία μεγιστοποιείται το : (AS+SB)-(AT+TB) .
Για το β) ερώτημα. Έστω SA=x, AB=2R.
Διαφορά αθροισμάτων.png
Διαφορά αθροισμάτων.png (16.21 KiB) Προβλήθηκε 284 φορές
\displaystyle SA + SB = x + \sqrt {4{R^2} - {x^2}} και \displaystyle AM = \frac{{\sqrt {4{R^2} + 3{x^2}} }}{2}. Εξάλλου, \displaystyle AM \cdot MT = \frac{{S{B^2}}}{4},

απ' όπου \displaystyle MT = \frac{{4{R^2} - {x^2}}}{{2\sqrt {4{R^2} + 3{x^2}} }} και \displaystyle AT = \frac{{4{R^2} + {x^2}}}{{\sqrt {4{R^2} + 3{x^2}} }} \Rightarrow TB = \sqrt {4{R^2} - \frac{{{{(4{R^2} + {x^2})}^2}}}{{4{R^2} + 3{x^2}}}}

Θέτω \displaystyle f(x) = (SA + SB) - (TA + TB) \Leftrightarrow \boxed{f(x) = x + \sqrt {4{R^2} - {x^2}}  - \frac{{4{R^2} + {x^2} + x\sqrt {4{R^2} - {x^2}} }}{{\sqrt {4{R^2} + 3{x^2}} }}}

Με τη βοήθεια λογισμικού βρίσκω ότι η f έχει για \boxed{x\simeq 1,62009R} μέγιστη τιμή ίση περίπου με \boxed{ 0,318963R}