Μέγιστος κύκλος

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Μέγιστος κύκλος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Οκτ 04, 2019 2:04 pm

Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του εγγεγραμμένου σε ισοσκελές τρίγωνο (με σταθερές ίσες πλευρές ) κυκλικού δίσκου μεγιστοποιείται , όταν αυτό γίνει ισόπλευρο .

Υ.Γ. Έχω μια λύση η οποία στηρίζεται στο R\geqslant 2r . Κάτι απλούστερο ;

Edit (Αλλαγή διατύπωσης - Δείτε την επόμενη δημοσίευση - ευχαριστώ τον κ Λάμπρου)

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο , εγγεγραμμένο σε κύκλο σταθερής ακτίνας . Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κυκλικού δίσκου στο τρίγωνο μεγιστοποιείται , όταν αυτό γίνει ισόπλευρο .
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Παρ Οκτ 04, 2019 5:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μέγισιτος κύκλος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Οκτ 04, 2019 3:38 pm

exdx έγραψε:
Παρ Οκτ 04, 2019 2:04 pm
Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του εγγεγραμμένου σε ισοσκελές τρίγωνο (με σταθερές ίσες πλευρές ) κυκλικού δίσκου μεγιστοποιείται , όταν αυτό γίνει ισόπλευρο .
Γιώργο, μπορεί να μην αληθεύει εκτός αν κάπου κάνω λάθος.

Αν A η κορυφή, b=c τα σταθερά ίσα σκέλη και D το μέσον την BC, έχουμε

r = BD \tan \dfrac {B}{2} = b \cos B \tan \dfrac {B}{2} =b \dfrac {1-t^2}{1+t^2} t όπου t=\tan \dfrac {B}{2}

H \dfrac {1-t^2}{1+t^2} t έχει ολικό μέγιστο όταν η παράγωγός της \dfrac {1-4t^2-t^4}{(1+t^2)^2} μηδενίζεται. Βγάζω ότι τότε \tan \dfrac {B}{2} =t= \sqrt {-2+\sqrt 5}}\approx  0.4858 που δίνει B \approx 51,8^o.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9355
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστος κύκλος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Οκτ 04, 2019 6:21 pm

Μία απάντηση για το μέγιστο του αρχικού προβλήματος (για τον κόπο επειδή την είχα ήδη έτοιμη).Αρκεί να βρούμε πότε η ακτίνα γίνεται μέγιστη.
Μέγιστος κύκλος.png
Μέγιστος κύκλος.png (10.53 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές
\displaystyle \frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{2b}}{a} \Leftrightarrow \frac{{AD}}{r} = \frac{{a + 2b}}{a} \Leftrightarrow r = f(a) = \frac{{a\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{{2(a + 2b)}} με \displaystyle f'(a) =  - \frac{{{a^2} + 2ba - 4{b^2}}}{{2(a + 2b)\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}

Η ακτίνα του κύκλου, άρα και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου, μεγιστοποιείται όταν \boxed{a=(\sqrt 5 -1)b}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9355
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστος κύκλος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Οκτ 04, 2019 7:05 pm

exdx έγραψε:
Παρ Οκτ 04, 2019 2:04 pm

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο , εγγεγραμμένο σε κύκλο σταθερής ακτίνας . Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κυκλικού δίσκου στο τρίγωνο μεγιστοποιείται , όταν αυτό γίνει ισόπλευρο .
Από το προηγούμενο είναι \displaystyle r = \frac{{a\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{{2(a + 2b)}} κι επειδή \displaystyle a = 2R\sin 2B,b = 2R\sin B

καταλήγουμε στη συνάρτηση \displaystyle r=f(x) = \frac{{2Rx(1 - {x^2})}}{{x + 1}}, όπου \displaystyle x = \cos B (λόγω φακέλου παρέλειψα αρκετές πράξεις).

Εύκολα τώρα βρίσκουμε ότι η f παρουσιάζει μέγιστο για \displaystyle x = \frac{1}{2}, δηλαδή \widehat B=60^\circ, άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο,

r=\dfrac{R}{2} και το μέγιστο εμβαδόν \displaystyle {E_{\max }} = \frac{{\pi {R^2}}}{4}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης