Ελαχιστοποίηση γινομένου
Συντονιστής: gbaloglou
Ελαχιστοποίηση γινομένου
Τα ύψη και του ισοπλεύρου τριγώνου , τέμνονται στο σημείο .
Σημείο κινείται μεταξύ των σημείων και . Ενδιαφερόμαστε για το
Είναι σχεδόν προφανές (;) ότι για τις ακραίες θέσεις του , είναι
Δείξτε ότι για τις άλλες θέσεις του , το είναι μικρότερο και αναζητήστε την ελάχιστη τιμή του .
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ελαχιστοποίηση γινομένου
που ελαχιστοποιείται ότανKARKAR έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 19, 2019 8:26 amΕλαχιστοποίηση γινομένου.png
Τα ύψη και του ισοπλεύρου τριγώνου , τέμνονται στο σημείο .
Σημείο κινείται μεταξύ των σημείων και . Ενδιαφερόμαστε για το
Είναι σχεδόν προφανές (;) ότι για τις ακραίες θέσεις του , είναι
Δείξτε ότι για τις άλλες θέσεις του , το είναι μικρότερο και αναζητήστε την ελάχιστη τιμή του .
μεγιστοποιηθεί η πράγμα που συμβαίνει για και παίρνει μέγιστη τιμή
Το γινόμενο ελαχιστοποιείται λοιπόν όταν η είναι διχοτόμος της και
Re: Ελαχιστοποίηση γινομένου
Για το πρώτο .
α) Ας είναι .Από Θ Μενελάου στο με τέμνουσα έχω:
Αλλά γιατί το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο .
Ενώ από το Π. Θεώρημα στο .
Η δίδει : , οπότε λόγω της αρκεί να δείξω ότι :
που ισοδύναμα ( αφού ) δίδει :
που είναι αληθής .
β) Η συνάρτηση με
Παρουσιάζει ελάχιστο στο το
α) Ας είναι .Από Θ Μενελάου στο με τέμνουσα έχω:
Αλλά γιατί το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο .
Ενώ από το Π. Θεώρημα στο .
Η δίδει : , οπότε λόγω της αρκεί να δείξω ότι :
που ισοδύναμα ( αφού ) δίδει :
που είναι αληθής .
β) Η συνάρτηση με
Παρουσιάζει ελάχιστο στο το
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ελαχιστοποίηση γινομένου
Για το πρώτο (μου διέφυγε τελείως, μέχρι που είδα την απάντηση του Νίκου).
Επειδή η είναι αμβλεία, η από το κάθετη στην την τέμνει σε σημείο στην προέκταση του
(το οποίο ισχύει σε κάθε τρίγωνο όχι μόνο σε ισόπλευρο).
(το οποίο ισχύει σε κάθε τρίγωνο όχι μόνο σε ισόπλευρο).
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ελαχιστοποίηση γινομένου
Ας το γενικεύσουμε:
Αν το είναι τυχαίο οξυγώνιο τρίγωνο, εξετάστε αν το γινόμενο ελαχιστοποιείται όταν η διχοτομεί τη γωνία -
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Ελαχιστοποίηση γινομένου
KARKAR έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 19, 2019 8:26 amΕλαχιστοποίηση γινομένου.png
Τα ύψη και του ισοπλεύρου τριγώνου , τέμνονται στο σημείο .
Σημείο κινείται μεταξύ των σημείων και . Ενδιαφερόμαστε για το
Είναι σχεδόν προφανές (;) ότι για τις ακραίες θέσεις του , είναι
Δείξτε ότι για τις άλλες θέσεις του , το είναι μικρότερο και αναζητήστε την ελάχιστη τιμή του .
1)Επειδή η κάθετη στην στο τέμνει την σε εσωτερικό της σημείο έστω συνεπώς
Ισχύει,
2)Είναι, άρα ψάχνουμε την ελαχιστοποίηση του
Με ν.συνημιτόνου στο
απ όπου
έχουμε με
Εύκολα βρίσκουμε όταν και
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες