Ελαχιστοποίηση γινομένου

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10940
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελαχιστοποίηση γινομένου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Οκτ 19, 2019 8:26 am

Ελαχιστοποίηση  γινομένου.png
Ελαχιστοποίηση γινομένου.png (13.36 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές

Τα ύψη AM και CD του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , τέμνονται στο σημείο K .

Σημείο S κινείται μεταξύ των σημείων B και M . Ενδιαφερόμαστε για το AT\cdot AS

Είναι σχεδόν προφανές (;) ότι για τις ακραίες θέσεις του S , είναι AD\cdot AB=AK \cdot AM

Δείξτε ότι για τις άλλες θέσεις του S , το AT\cdot AS είναι μικρότερο και αναζητήστε την ελάχιστη τιμή του .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8499
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελαχιστοποίηση γινομένου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 19, 2019 9:43 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Οκτ 19, 2019 8:26 am
Ελαχιστοποίηση γινομένου.png
Τα ύψη AM και CD του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , τέμνονται στο σημείο K .

Σημείο S κινείται μεταξύ των σημείων B και M . Ενδιαφερόμαστε για το AT\cdot AS

Είναι σχεδόν προφανές (;) ότι για τις ακραίες θέσεις του S , είναι AD\cdot AB=AK \cdot AM

Δείξτε ότι για τις άλλες θέσεις του S , το AT\cdot AS είναι μικρότερο και αναζητήστε την ελάχιστη τιμή του .
Ελαχιστοποίηση γινομένου.png
Ελαχιστοποίηση γινομένου.png (11.85 KiB) Προβλήθηκε 207 φορές
\displaystyle AT \cdot AS = \frac{{AD}}{{\cos x}} \cdot \frac{{AM}}{{\cos (30^\circ  - x)}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{2\cos x(\sqrt 3 \cos x + \sin x)}} που ελαχιστοποιείται όταν

μεγιστοποιηθεί η \displaystyle f(x) = 2\cos x(\sqrt 3 \cos x + \sin x), πράγμα που συμβαίνει για x=15^\circ και παίρνει μέγιστη τιμή 2+\sqrt 3.

Το γινόμενο ελαχιστοποιείται λοιπόν όταν η AS είναι διχοτόμος της B\widehat AM και \boxed{{\left( {AT \cdot AS} \right)_{\min }} = {a^2}\left( {2\sqrt 3  - 3} \right)}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6781
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ελαχιστοποίηση γινομένου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Οκτ 19, 2019 12:23 pm

Για το πρώτο .

α) Ας είναι \boxed{MS = x\,\,,\,\,x \in \left( {0,\frac{a}{2}} \right)} .Από Θ Μενελάου στο \vartriangle ABS με τέμνουσα \overline {DTC} έχω:

\dfrac{{AD}}{{DB}} \cdot \dfrac{{BC}}{{CS}} \cdot \dfrac{{ST}}{{TA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{TA}}{{TS}} = \dfrac{{2a}}{{a + 2x}} \Rightarrow \boxed{\frac{{TA}}{{AS}} = \frac{{2a}}{{3a + 2x}}}\,\,(1)

Αλλά AK \cdot AM = AD \cdot AB = \dfrac{{{a^2}}}{2}\,\,\,(2) γιατί το τετράπλευρο BMKD είναι εγγράψιμο .

Ενώ A{S^2} = {x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}\,\,(3) από το Π. Θεώρημα στο \vartriangle MAS.
Ελαχιστοποίηση  γινομένου_oritzin_a.png
Ελαχιστοποίηση γινομένου_oritzin_a.png (15.57 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές
Η (1) δίδει : AT \cdot AS = \dfrac{{2a}}{{3a + 2x}}A{S^2}\mathop  = \limits^{(3)} \dfrac{{2a}}{{3a + 2x}}\left( {{x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} \right) , οπότε λόγω της (2) αρκεί να δείξω ότι :

\boxed{\dfrac{{2a}}{{3a + 2x}}\left( {{x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} \right) < \dfrac{{{a^2}}}{2}} που ισοδύναμα ( αφού a,x > 0) δίδει :

\dfrac{2}{{3a + 2x}}\left( {4{x^2} + 3{a^2}} \right) < 2a \Leftrightarrow 4{x^2} + 3{a^2} < a(3a + 2x) \Leftrightarrow 2x < a που είναι αληθής .

β) Η συνάρτηση f με \boxed{f(x) = AT \cdot AS = \frac{{a\left( {4{x^2} + 3{a^2}} \right)}}{{2(3a + 2x)}}\,,\,\,\,\,\,0 < x < \frac{a}{2}}

Παρουσιάζει ελάχιστο στο {x_0} = a\left( {\sqrt 3  - \dfrac{3}{2}} \right) το f({x_0}) = {a^2}\left( {2\sqrt 3  - 3} \right)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8499
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελαχιστοποίηση γινομένου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 19, 2019 5:14 pm

Για το πρώτο (μου διέφυγε τελείως, μέχρι που είδα την απάντηση του Νίκου).
Ελαχιστοποίηση γινομένου.a.png
Ελαχιστοποίηση γινομένου.a.png (13.43 KiB) Προβλήθηκε 166 φορές
Επειδή η A\widehat SB είναι αμβλεία, η από το B κάθετη στην AS την τέμνει σε σημείο E στην προέκταση του AS.

\displaystyle AT \cdot AS < AT \cdot AE = AD \cdot AB (το οποίο ισχύει σε κάθε τρίγωνο όχι μόνο σε ισόπλευρο).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8499
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελαχιστοποίηση γινομένου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 19, 2019 7:01 pm

Ας το γενικεύσουμε:
Ελαχιστοποίηση γινομένου.c.png
Ελαχιστοποίηση γινομένου.c.png (10.42 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές
Αν το ABC είναι τυχαίο οξυγώνιο τρίγωνο, εξετάστε αν το γινόμενο AT\cdot AS ελαχιστοποιείται όταν η AS διχοτομεί τη γωνία B\widehat AM.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1692
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ελαχιστοποίηση γινομένου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Οκτ 19, 2019 9:06 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Οκτ 19, 2019 8:26 am
Ελαχιστοποίηση γινομένου.png
Τα ύψη AM και CD του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , τέμνονται στο σημείο K .

Σημείο S κινείται μεταξύ των σημείων B και M . Ενδιαφερόμαστε για το AT\cdot AS

Είναι σχεδόν προφανές (;) ότι για τις ακραίες θέσεις του S , είναι AD\cdot AB=AK \cdot AM

Δείξτε ότι για τις άλλες θέσεις του S , το AT\cdot AS είναι μικρότερο και αναζητήστε την ελάχιστη τιμή του .

1)Επειδή \angle ASB>90^0 η κάθετη στην AS στο S τέμνει την AB σε εσωτερικό της σημείο έστω L συνεπώς  AL<AB

Ισχύει, AT . AS=AD . AL<AD . AB=AK . AM

2)Είναι, \dfrac{a}{2} . AL=AT . AS άρα ψάχνουμε την ελαχιστοποίηση του AL

Με ν.συνημιτόνου στο \triangle BLS έχουμε LS^2= (a-AL)^2+x^2-(a-AL)x

AL^2=AS^2+LS^2= \dfrac{3a^2}{4}+( \dfrac{a}{2} -x)^2+(a-AL)^2+x^2-(a-AL)x  απ όπου

έχουμε AL=f(x)=2 \dfrac{a^2+x^2-ax}{2a-x} με 0<x< \dfrac{a}{2}

Εύκολα βρίσκουμε AL_{min} όταν x=a(2- \sqrt{3} ) και (AT . AS )_{min} =a^2(2 \sqrt{3}-3)
ελαχιστοποίηση γινομένου.png
ελαχιστοποίηση γινομένου.png (49.56 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης