Είναι τα ορθογώνια τρίγωνα ίσα;

dimplak · #1

Δύο ορθογώνια τρίγωνα τα οποία έχουν ίσες μια προς μια τις διχοτόμους τους προς τις κάθετες πλευρές τους , είναι ίσα;

dimplak · #2

Και άλλη μία

Δύο ορθογώνια τρίγωνα τα οποία έχουν ίσες μια προς μια τις διαμέσους τους προς τις κάθετες πλευρές τους , είναι ίσα;

#3

dimplak έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 10, 2019 1:38 pm
Και άλλη μία

Δύο ορθογώνια τρίγωνα τα οποία έχουν ίσες μια προς μια τις διαμέσους τους προς τις κάθετες πλευρές τους , είναι ίσα;

Αρκεί να δείξω ότι ένα ορθογώνιο τρίγωνο $ABC (\widehat A=90^\circ),$ κατασκευάζεται αν είναι γνωστά τα μήκη των διαμέσων του

m_b, m_c.

Πράγματι, $\displaystyle {m_b}^2 + {m_c}^2 = \frac{{5{a^2}}}{4}.$ Άρα η υποτείνουσα έχει σταθερό μήκος. Προφανώς λοιπόν, το ABC

ορίζεται μονοσήμαντα.

#4

dimplak έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 10, 2019 10:09 am
Δύο ορθογώνια τρίγωνα τα οποία έχουν ίσες μια προς μια τις διχοτόμους τους προς τις κάθετες πλευρές τους , είναι ίσα;

Καλησπέρα σε όλους. Είπα: "Επειδή έμεινε αρκετές ημέρες αναπάντητο είτε πέρασε απαρατήρητο, είτε θα έχει ενδιαφέρον η ενασχόληση μ' αυτό". Τείνω προς τη δεύτερη άποψη (με την επιφύλαξη να είναι κάτι απλό, το οποίο δεν βλέπω, εγκλωβισμένος στην πρώτη σκέψη).

Επιχειρώ δύο προσεγγίσεις.

Κατασκευαστική:

: 11-11-2019 Γεωμετρία b.png (46.48 KiB) Προβλήθηκε 1282 φορές

Έστω

δεδομένοι σταθεροί θετικοί αριθμοί.

Σε ευθεία (e)

παίρνουμε σημείο

και κατασκευάζουμε κύκλο (B, k)

, που τέμνει την ευθεία (e)

στο

.

Έστω σημείο

στο τόξο $\displaystyle \mathop {{\rm K}{\rm M}}\limits^ \cap$ που είναι ίσο με το 1/8

του κύκλου.

Φέρνουμε

κάθετη στην (e)

και τη διχοτόμο της BAD

που τέμνει τη

στο

.

Κατασκευάζουμε ημιευθεία

ώστε η

να διχοτομεί τη γωνία Abx

.

Η ημιευθεία

τέμνει την προέκταση της

στο

. Η

τέμνει την

στο

.

Όπως το

διατρέχει το τόξο $\displaystyle \mathop {{\rm K}{\rm M}}\limits^ \cap$ από το

προς το

, τότε το

διατρέχει το διάστημα $\displaystyle \left( {0,\; + \infty } \right)$ , αυξανόμενο συνεχώς, οπότε για κάποια μοναδική θέση του

θα είναι ίσο με

, οπότε η κατασκευή του ορθογωνίου τριγώνου ABC

με διχοτόμους BD = k, CE = m

γίνεται με μοναδικό τρόπο.

ΣΧΟΛΙΟ: Γνωρίζω ότι η τελευταία παράγραφος είναι εκτός ορίων της Ευκλείδειας προσέγγισης.Με ενδιαφέρουν οι απόψεις, τα σχόλια, οι διορθώσεις ή οι συμπληρώσεις σας.

Δίνω το αρχείο Geogebra.

#5

2η προσέγγιση. Αλγεβρική:

: 10-11-2019 Γεωμετρία.jpg (32.17 KiB) Προβλήθηκε 1278 φορές

Έστω

δεδομένα σταθερά μήκη τμημάτων.

Σε ορθή γωνία xAy

παίρνουμε τμήματα $\displaystyle AB = k\cos \omega ,\;\;AC = m\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \omega } \right),\;\;\;0 < \omega < \frac{\pi }{4}$ ..

Όμως είναι
$\displaystyle \frac{{AC}}{{AB}} = \tan 2\omega \Rightarrow \frac{{m\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \omega } \right)}}{{\kappa \cos \omega }} = \tan 2\omega \Leftrightarrow \frac{m}{\kappa } + \frac{m}{\kappa }\tan \omega = \sqrt 2 \tan 2\omega$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{m}{\kappa } + \frac{m}{\kappa }\tan \omega = \sqrt 2 \frac{{2\tan \omega }}{{1 - {{\tan }^2}\omega }}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{m}{k}{\tan ^3}\omega + \frac{m}{k}{\tan ^2}\omega + \left( {2\sqrt 2 - \frac{m}{k}} \right)\tan \omega - \frac{m}{k} = 0$ .

Η εξίσωση αυτή μπορεί να δειχθεί ότι έχει μοναδική λύση όταν $0< \omega < \frac{\pi }{4}$ .

Είναι κουραστικό. Δεν το προχωρώ, περιμένοντας πιο απλή λύση.

dimplak · #6

Καλησπέρα κ. Βισβίκη και κ. Ρίζο.

Σας ευχαριστώ πολύ για τις ιδέες σας.

Τον τελευταίο καιρό πειραματίζομαι με όλες τις περιπτώσεις κριτηρίων ισότητας (ορθογωνίων) τριγώνων, συνδυάζοντας όλες τις περιπτώσεις πρωτευόντων και δευτερευόντων στοιχείων του τριγώνου. Άλλες βγήκαν εύκολα, άλλες δύσκολα και άλλες στις οποίες δεν ... φαίνεται το παραμικρό φως στο τούνελ! Σίγουρα με τον καιρό και την ανταλλαγή ιδεών, θα βρούμε όμορφες και πρωτόγνωρες λύσεις.

Να στε πάντα καλά και συνεχίζουμε!

#7

dimplak έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 10, 2019 1:38 pm
Και άλλη μία

Δύο ορθογώνια τρίγωνα τα οποία έχουν ίσες μια προς μια τις διαμέσους τους προς τις κάθετες πλευρές τους , είναι ίσα;

Τοποθετούμε τα δύο ορθογώνια τρίγωνα σε σύστημα συντεταγμένων ως { (0,0), (u,0), (0,s)

} και {

}. Οι ισότητες των δύο διαμέσων σημαίνουν ότι είναι ίσες οι αποστάσεις ανάμεσα σε (0,s)

,

και

,

και ότι είναι ίσες οι αποστάσεις ανάμεσα σε (u,0)

,

, και

,

. Ισχύουν δηλαδή οι εξισώσεις $\dfrac{u^2}{4}+s^2=\dfrac{v^2}{4}+r^2$ και $u^2+\dfrac{s^2}{4}=v^2+\dfrac{r^2}{4}$ . Η ταυτόχρονη ισχύς των $\dfrac{u^2-v^2}{4}=r^2-s^2$ και $u^2-v^2=\dfrac{r^2-s^2}{4}$ συνεπάγεται την $\dfrac{r^2-s^2}{16}=r^2-s^2$ , άρα r=s

(και

): τα δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα.

[Η αντίστοιχη προσέγγιση για τις διχοτόμους οδηγεί στην εξής αλγεβρική εικασία:

αν $s^2+\dfrac{u^2s^2}{(s+\sqrt{u^2+s^2})^2}=r^2+\dfrac{v^2r^2}{(r+\sqrt{v^2+r^2})^2}$ και $u^2+\dfrac{u^2s^2}{(u+\sqrt{u^2+s^2})^2}=v^2+\dfrac{v^2r^2}{(v+\sqrt{v^2+r^2})^2}$

τότε r=s

και

.]

#8

Ολοκληρώνοντας την προηγούμενη δημοσίευσή μου, θα δώσω την κατασκευή ενός ορθογωνίου τριγώνου $ABC (\widehat A=90^\circ),$ όταν δίνονται οι διάμεσοι m_b=m, m_c=n.

: Κριτήριο ορθογωνίων τριγώνων.png (15.2 KiB) Προβλήθηκε 1170 φορές

Εύκολα βρίσκω $\displaystyle {m^2} + {n^2} = \frac{{5B{C^2}}}{4},$ άρα το μήκος της BC=a

είναι σταθερό.

Κατασκευάζω το τρίγωνο GBC

με $\displaystyle BC = a,GB = \frac{{2m}}{3},GC = \frac{{2n}}{3}$ και στη συνέχεια προεκτείνω τις BG, CG

κατά τμήματα $\displaystyle GM = \frac{m}{3},GN = \frac{n}{3}.$ Το σημείο τομής των BN, CM

είναι η τρίτη κορυφή

του τριγώνου.

Εναλλακτικά, οι τρεις διάμεσοι ${m_a} = \dfrac{a}{2}, m_b=m, m_c=n,$ έχουν γνωστά μήκη, άρα το τρίγωνο ABC

είναι μονοσήμαντα ορισμένο (κλασική κατασκευή).

#9

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 11, 2019 9:14 pm
2η προσέγγιση. Αλγεβρική:

10-11-2019 Γεωμετρία.jpg

Έστω δεδομένα σταθερά μήκη τμημάτων.

Σε ορθή γωνία παίρνουμε τμήματα $\displaystyle AB = k\cos \omega ,\;\;AC = m\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \omega } \right),\;\;\;0 < \omega < \frac{\pi }{4}$ ..

Όμως είναι
$\displaystyle \frac{{AC}}{{AB}} = \tan 2\omega \Rightarrow \frac{{m\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \omega } \right)}}{{\kappa \cos \omega }} = \tan 2\omega \Leftrightarrow \frac{m}{\kappa } + \frac{m}{\kappa }\tan \omega = \sqrt 2 \tan 2\omega$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{m}{\kappa } + \frac{m}{\kappa }\tan \omega = \sqrt 2 \frac{{2\tan \omega }}{{1 - {{\tan }^2}\omega }}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{m}{k}{\tan ^3}\omega + \frac{m}{k}{\tan ^2}\omega + \left( {2\sqrt 2 - \frac{m}{k}} \right)\tan \omega - \frac{m}{k} = 0$ .

Η εξίσωση αυτή μπορεί να δειχθεί ότι έχει μοναδική λύση όταν $0< \omega < \frac{\pi }{4}$ .

Είναι κουραστικό. Δεν το προχωρώ, περιμένοντας πιο απλή λύση.

Γιώργο ούτε άλλη λύση βρέθηκε ως τώρα, ούτε κουραστικό είναι τελικά:

Χρησιμοποιώντας το ανεξαρτήτου ενδιαφέροντος λήμμα που παρέθεσα εδώ, παρατηρούμε ότι για να έχει μοναδική λύση για 0<x<1

η παραπάνω $\dfrac{m}{k}x^3 + \dfrac{m}{k}x^2 + \left( {2\sqrt 2 - \dfrac{m}{k}} \right)x - \dfrac{m}{k} = 0$ ... αρκεί να έχει μία το πολύ λύση για 0<x<1

η $3\dfrac{m}{k}x^2 + 2\dfrac{m}{k}x + \left( {2\sqrt 2 - \dfrac{m}{k}} \right) = 0$ : αυτό είναι φανερό από την $x=\dfrac{-\dfrac{m}{k}\pm\sqrt{4\dfrac{m^2}{k^2}-6\sqrt{2}\dfrac{m}{k}}}{3\dfrac{m}{k}}$ .

#10

dimplak έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 10, 2019 10:09 am
Δύο ορθογώνια τρίγωνα τα οποία έχουν ίσες μια προς μια τις διχοτόμους τους προς τις κάθετες πλευρές τους , είναι ίσα;

Έστω

τα (άγνωστα) μήκη των πλευρών. Υποθέτω ότι η $\hat{A}$ είναι η ορθή γωνία. Τα μήκη των διχοτόμων είναι

$\displaystyle \delta_b^2 = \frac{ac}{(a+c)^2}((a+c)^2 - b^2) = \frac{ac(a^2 + 2ac + c^2 - b^2)}{(a+c)^2} = \frac{ac(2c^2 + 2ac))}{(a+c)^2} = \frac{2ac^2}{a+c}$ και $\displaystyle \delta_c^2 = \frac{2ab^2}{a+b}$

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \delta_b^2 = 2c^2\left(1 - \frac{c}{a+c} \right)$ και $\displaystyle \delta_b^2 = 2ac\left(1 - \frac{a}{a+c} \right)$

Άρα η $\delta_b^2$ είναι αύξουσα τόσο ως προς το

όσο και ως προς το

.

Αν τώρα έχουμε και δεύτερο τρίγωνο με τα ίδια μήκη διχοτόμων και μήκη πλευρών a',b',c'

όπου χωρίς βλάβη της γενικότητας c' > c

, τότε:

Αφού η $\delta_b^2$ είναι κοινή και αύξουσα ως προς a,c

πρέπει

. Με το ίδιο σκεπτικό, επειδή η $\delta_c^2$ είναι κοινή και αύξουσα ως προς a,b

πρέπει

. Αυτό είναι άτοπο διότι

$\displaystyle a^2 > (a')^2 = (b')^2 + (c')^2 > b^2 + c^2$

Άρα τα τρίγωνα πρέπει να είναι ίσα.

dimplak · #11

Καλησπέρα!

Ευχαριστώ για τις επιπλέον ιδέες - λύσεις!

Κ. Δημήτρη κι εγώ έφτασα σε παρόμοια σχέση από το τύπο της διχοτόμου αλλά δεν κατάφερα να το ολοκληρώσω.

Προσπαθώ κι εγώ και προσδοκώ εν καιρώ μία καθαρά συνθετική λύση!

Συνεχίζουμε...

Υ.Γ. Αν κάποιος συνάδελφος έχει δει ξανά το θέμα σε κάποια βιβλιογραφία ας μας ενημερώσει! Ευχαριστώ και πάλι!

Είναι τα ορθογώνια τρίγωνα ίσα;

Είναι τα ορθογώνια τρίγωνα ίσα;

Re: Είναι τα ορθογώνια τρίγωνα ίσα;

Re: Είναι τα ορθογώνια τρίγωνα ίσα;

Re: Είναι τα ορθογώνια τρίγωνα ίσα;

Re: Είναι τα ορθογώνια τρίγωνα ίσα;

Re: Είναι τα ορθογώνια τρίγωνα ίσα;

Re: Είναι τα ορθογώνια τρίγωνα ίσα;

Re: Είναι τα ορθογώνια τρίγωνα ίσα;

Re: Είναι τα ορθογώνια τρίγωνα ίσα;

Re: Είναι τα ορθογώνια τρίγωνα ίσα;

Re: Είναι τα ορθογώνια τρίγωνα ίσα;

Μέλη σε σύνδεση