Είναι ίσα τα τρίγωνα;

dimplak · #1

1. Τα τρίγωνα ABC

και

έχουν

, $\hat{A} = \hat{A'}$ και ίσες διαμέσους $m_a = m_{a'}$ . Είναι ίσα;

2. Τα τρίγωνα ABC

και

έχουν

, $\hat{A} = \hat{A'}$ και ίσες διαμέσους $m_b = m_{b'}$ . Είναι ίσα;

Σε κάθε περίπτωση, αν δεν είναι ίσα, δώστε αντιπαράδειγμα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

dimplak έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 22, 2019 2:10 pm
1. Τα τρίγωνα και έχουν , $\hat{A} = \hat{A'}$ και ίσες διαμέσους $m_a = m_{a'}$ . Είναι ίσα;

2. Τα τρίγωνα και έχουν , $\hat{A} = \hat{A'}$ και ίσες διαμέσους $m_b = m_{b'}$ . Είναι ίσα;

Σε κάθε περίπτωση, αν δεν είναι ίσα, δώστε αντιπαράδειγμα.

1)Παίρνουμε την

.Η κορυφή

θα βρίσκεται σε τόξο κύκλου που βλέπει
την

υπό γωνία $\hat{A}$ καθώς και στον κύκλο κέντρου

(μέσου της

)
και ακτίνας m_a

.
Η τομή των δύο μας δίνει την κορυφή

.
Η τομή είναι ένα η δύο σημεία .(το τρίγωνο υπάρχει από την υπόθεση)
Αν είναι ενα σημείο προκύπτει ισοσκελές τρίγωνο.
Αν είναι δύο σημεία αυτά θα είναι συμμετρικά ως προς την μεσοκάθετο της

.
Εχουμε δύο τρίγωνα τα οποία λόγω συμμετρίας θα είναι ίσα ως προς την κλασσική
Ευκλείδια Γεωμετρία ενώ δεν θα είναι ίσα ως προς την προσανατολισμένη Ευκλείδια Γεωμετρία.

2) Παίρνουμε την

.Η κορυφή

θα βρίσκεται σε τόξο κύκλου που βλέπει
την

υπό γωνία $\hat{A}$ .
Εστω

το κέντρο αυτού του κύκλου.
Το μέσο

της

θα βρίσκεται σε μέρος κύκλου διαμέτρου

καθώς και σε κύκλο
κέντρου

και ακτίνας m_b

.
Ετσι το

θα βρίσκεται στην τομή των δύο κύκλων.
Η τομή είναι ένα η δύο σημεία .(το τρίγωνο υπάρχει από την υπόθεση).
Αν η τομή είναι δύο σημεία τότε προκύπτουν δύο τρίγωνα που δεν είναι ίσα εν γένει.

Συμπερασματικά.
Στην 2) περίπτωση εν γένει τα τρίγωνα δεν είναι ίσα.
Στην 1)Με κλασσική Ευκλείδια είναι ίσα ενώ με προσανατολισμένη δεν είναι εν γένει ίσα.

#3

dimplak έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 22, 2019 2:10 pm
1. Τα τρίγωνα και έχουν , $\hat{A} = \hat{A'}$ και ίσες διαμέσους $m_a = m_{a'}$ . Είναι ίσα;

Προσοχή! Για να ισχύει ως κριτήριο ισότητας τριγώνων, θα πρέπει να διευκρινιστεί ότι οι ίσες γωνίες δεν είναι ορθές.

Στην περίπτωση της ορθής γωνίας, υπάρχουν άπειρα τρίγωνα ανά δύο άνισα μεταξύ τους που επαληθεύουν την υπόθεση.

: Ι.Τ;.png (15.83 KiB) Προβλήθηκε 803 φορές

#4

dimplak έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 22, 2019 2:10 pm

2. Τα τρίγωνα και έχουν , $\hat{A} = \hat{A'}$ και ίσες διαμέσους $m_b = m_{b'}$ . Είναι ίσα;

Σε αντίθεση με την (1), αυτή ισχύει όταν οι ίσες γωνίες είναι ορθές. Δηλαδή:

Αν τα τρίγωνα και έχουν , $\hat{A} = \hat{A'}=90^\circ$ και ίσες διαμέσους $m_b = m_{b'},$ τότε είναι ίσα.

Το αφήνω ως άσκηση και αν δεν απαντηθεί σε εύλογο χρονικό διάστημα, θα επανέλθω με την απόδειξη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 23, 2019 7:00 pm

dimplak έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 22, 2019 2:10 pm

2. Τα τρίγωνα και έχουν , $\hat{A} = \hat{A'}$ και ίσες διαμέσους $m_b = m_{b'}$ . Είναι ίσα;
Σε αντίθεση με την (1), αυτή ισχύει όταν οι ίσες γωνίες είναι ορθές. Δηλαδή:

Αν τα τρίγωνα και έχουν , $\hat{A} = \hat{A'}=90^\circ$ και ίσες διαμέσους $m_b = m_{b'},$ τότε είναι ίσα.

Το αφήνω ως άσκηση και αν δεν απαντηθεί σε εύλογο χρονικό διάστημα, θα επανέλθω με την απόδειξη.

Γιώργο σου θυμίζω ότι είμαστε στον φάκελο Γεωμετρία ενώ το θέμα εξ αρχής ήταν για Α Λυκείου.
Στην απάντηση παραπάνω θεώρησα αυτονόητο (κακώς) την περίπτωση του ορθογωνίου τριγώνου.
Πολύ καλά έκανες με την παρέμβαση σου.

dimplak · #6

Μία λύση για το 1.

Αρχικά με μετρικές σχέσεις θα αποδείξω ότι τα ύψη

και

είναι ίσα αν οι γωνίες $\hat{A}$ και $\hat{A'}$ δεν είναι ορθές. Στη συνέχεια με απλές συγκρίσεις τριγώνων καταλήγω στην τελική ισότητα των δύο τριγώνων.

Από το θεώρημα των διαμέσων (Β' Λυκείου) ισχύει $m_a^2 = m_{a'}^2 \Leftrightarrow \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} = \frac{2b'^2 + 2c'^2 - a'^2}{4} \Leftrightarrow b^2 + c^2 = b'^2 + c'^2$ (1)

.

Από το νόμο συνημιτόνων (B' Λυκείου) και τη σχέση (1)

και την ισότητα των μη ορθών γωνιών ισχύει $a^2 = a'^2 \Leftrightarrow b^2 + c^2 - 2bccosA = b'^2 + c'^2 - 2b'c'cosA' \Leftrightarrow bc = b'c'$ (2)

.

Από τον τύπο του εμβαδού τριγώνου $(ABC)= \frac{1}{2} bc sinA$ και τη σχέση (2)

και την ισότητα των μη ορθών γωνιών και των πλευρών έχουμε: $(ABC) = (A'B'C') \Leftrightarrow \frac{1}{2} a AD = \frac{1}{2} a' A'D' \Leftrightarrow AD = A'D'$ .

Στη συνέχεια συγκρίνουμε διαδοχικά τα ορθογώνια τρίγωνα ADM

και

, μετά τα τρίγωνα AMC

και

και τέλος τα τρίγωνα ABC

και

.

Οπώς επεσήμανε ο κ. Γιώργος, από τη σχέση (2)

παρατηρούμε ότι για ορθές γωνίες οι λύσεις είναι άπειρες.

Είναι ίσα τα τρίγωνα;

Είναι ίσα τα τρίγωνα;

Re: Είναι ίσα τα τρίγωνα;

Re: Είναι ίσα τα τρίγωνα;

Re: Είναι ίσα τα τρίγωνα;

Re: Είναι ίσα τα τρίγωνα;

Re: Είναι ίσα τα τρίγωνα;

Μέλη σε σύνδεση