Μία διαγώνιος, τέσσερις γωνίες

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2768
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Μία διαγώνιος, τέσσερις γωνίες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Ιαν 05, 2020 10:21 am

Ξεκινώντας από απόπειρα επίλυσης άλλου προβλήματος (εδώ) προτείνω:

Να βρεθεί το μέγιστο και το ελάχιστο εμβαδόν -- ομοίως η μέγιστη και ελάχιστη περίμετρος -- τετραπλεύρου του οποίου γνωρίζουμε τις γωνίες και μία διαγώνιο.

[Μπορούν τα παραπάνω ερωτήματα να αναχθούν σε μελέτη συνάρτησης μιας κάποιας μεταβλητής, δεν φαίνεται όμως να υπάρχει 'καθαρή' λύση, το μέγιστο εμβαδόν για παράδειγμα μπορεί να εμφανίζεται είτε στα άκρα κάποιου διαστήματος ορισμού είτε σε εσωτερικό του σημείο. Ας το δει όποιος έχει κέφι να ασχοληθεί με κάτι τέτοιο, ελπίζω να παραθέσω σκέψεις και παραδείγματα αργότερα...]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2768
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Μία διαγώνιος, τέσσερις γωνίες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Ιαν 10, 2020 12:01 am

Δίνω (μια κάποια) απάντηση για το εμβαδόν, αφήνοντας την περίμετρο για αργότερα:

Ξεκινάμε με (κυρτό) τετράπλευρο ABCD, όπου η διαγώνιος BD είναι σταθερή, έστω μήκους d, το ίδιο και οι γωνίες \alpha, \beta, \gamma, \delta. Θέτουμε \angle ABD=x, \angle CBD=y, \angle CDB =z, \angle ADB =w, έτσι ώστε x+y=\beta, z+w=\delta, w=\pi-x-\alpha, z=\pi-y-\gamma, κλπ (Βλέπε και συνημμένο.)

Θεωρώντας τα κάθετα προς την BD ύψη των τριγώνων ABD και CBD και εφαρμόζοντας Νόμο Ημιτόνων υπολογίζουμε εύκολα τα εμβαδά τους και προσθέτοντας τα φτάνουμε εύκολα στην συνάρτηση-εμβαδόν για το ABCD:

E(x)=\dfrac{d^2sinxsin(x+\alpha)}{2sin\alpha}+\dfrac{d^2sin(\beta-x)sin(\beta+\gamma-x)}{2sin\gamma},

όπου

ΜΑΧ{0,\beta+\gamma-\pi}<x<ΜΙΝ{\beta,\pi-\alpha}.

... Θα έλεγα ότι ο παραπάνω προσδιορισμός του πεδίου ορισμού απαιτεί περισσότερη προσοχή από τον προσδιορισμό της συνάρτησης! Έλεγξα τα αποτελέσματα μου κατά αρκετούς τρόπους (βλέπε και παραδείγματα στο συνημμένο), και πιστεύω ότι δεν υπάρχει λάθος. Πάντως δεν μπορώ να πω ότι έχω καλή εποπτεία του προβλήματος... Για παράδειγμα, δεν μου είναι εύκολο να πω πότε η συνάρτηση-εμβαδόν μεγιστοποιείται σε εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού (μηδενισμός παραγώγου)* και πότε σε ένα από τα δύο άκρα του: δίνω κάποια παραδείγματα -- γράφημα συνάρτησης-εμβαδού για διάφορες τιμές (σε ακτίνια) των γωνιών \alpha, \beta, \gamma και d=1 -- στο συνημμένο, οι όποιες παρατηρήσεις ευπρόσδεκτες!

* για εξέταση μηδενισμού παραγώγου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και τον τύπο

E(x)=\dfrac{d^2}{4}\left[\dfrac{cos\alpha-cos(2x+\alpha)}{sin\alpha}+\dfrac{cos\gamma-cos(2\beta+\gamma-2x)}{sin\gamma}\right].

BD-abcd.png
BD-abcd.png (46.83 KiB) Προβλήθηκε 311 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2768
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Μία διαγώνιος, τέσσερις γωνίες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Σάβ Ιαν 18, 2020 1:42 pm

Συνεχίζω (και τελειώνω) με την περίμετρο:

Χρησιμοποιώντας την ορολογία και μέθοδο της προηγούμενης δημοσίευσης, εκφράζουμε την περίμετρο ως

\Pi(x)=d\left[\dfrac{sinx+sin(x+\alpha )}{sin\alpha }+\dfrac{sin(\beta -x)+sin(\beta +\gamma -x)}{sin\gamma}\right]=

=d\left[\dfrac{sin(x+\alpha /2)}{sin(\alpha /2)}+\dfrac{sin(\beta +\gamma /2-x)}{sin(\gamma /2)}\right],

όπου ΜΑΧ{0,\beta+\gamma-\pi}<x<ΜΙΝ{\beta,\pi-\alpha}.

Σε θέματα μεγιστοποίησης και ελαχιστοποίησης, η περίμετρος συμπεριφέρεται ανάλογα με το εμβαδόν, οπότε δεν δίνω παραδείγματα όπως αυτά της προηγούμενης δημοσίευσης. Θα άξιζε ΙΣΩΣ τον κόπο, για όποιον έχει χρόνο και ενέργεια (και γνώση Geogebra), να μελετηθούν ειδικές περιπτώσεις όπως \alpha +\gamma =\pi (εγγράψιμο τετράπλευρο), \alpha =\gamma , \beta =\delta . [Στην περίπτωση \alpha =\gamma προκύπτει εύκολα από τους τύπους ότι τόσο το εμβαδόν όσο και η περίμετρος μεγιστοποιούνται για x=\dfrac{\beta }{2}, όταν δηλαδή το τετράπλευρο είναι συμμετρικό περί την δοθέντος μήκους διαγώνιο. Επίσης στην περίπτωση \beta =\delta προκύπτει ότι τόσο το εμβαδόν όσο και η περίμετρος μεγιστοποιούνται για x=\dfrac{\pi -\alpha}{2}, οπότε x=w=\dfrac{\pi -\alpha}{2} και y=z=\dfrac{\pi -\gamma}{2}, όταν δηλαδή το τετράπλευρο είναι συμμετρικό περί την μεσοκάθετο της δοθέντος μήκους διαγωνίου.]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2768
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Μία διαγώνιος, τέσσερις γωνίες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Ιαν 19, 2020 12:29 am

gbaloglou έγραψε:
Σάβ Ιαν 18, 2020 1:42 pm
[Στην περίπτωση \alpha =\gamma προκύπτει εύκολα από τους τύπους ότι τόσο το εμβαδόν όσο και η περίμετρος μεγιστοποιούνται για x=\dfrac{\beta }{2}, όταν δηλαδή το τετράπλευρο είναι συμμετρικό περί την δοθέντος μήκους διαγώνιο. Επίσης στην περίπτωση \beta =\delta προκύπτει ότι τόσο το εμβαδόν όσο και η περίμετρος μεγιστοποιούνται για x=\dfrac{\pi -\alpha}{2}, οπότε x=w=\dfrac{\pi -\alpha}{2} και y=z=\dfrac{\pi -\gamma}{2}, όταν δηλαδή το τετράπλευρο είναι συμμετρικό περί την μεσοκάθετο της δοθέντος μήκους διαγωνίου.]
abcd.png
abcd.png (20.41 KiB) Προβλήθηκε 213 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες