Απολλώνιος

[rek2]

Από την πρόταση ιβ', με την οποία αποδεικνύεται η ιδ' των κωνικών β' που ανέφερε ο Αλέξανδρος, σε ελεύθερη κι... άνετη απόδοση:

Έστω σημείο Α υπερβολής και τα σημεία Β, Γ των ασυμπτώτων της. Αν οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ διατηρούν σταθερή διεύθυνση, να αποδειχτεί ότι το γινόμενο των τμημάτων ΑΒ και ΑΓ είναι σταθερό.

[Al.Koutsouridis]

Από την πρόταση ιβ', με την οποία αποδεικνύεται η ιδ' των κωνικών β' που ανέφερε ο Αλέξανδρος, σε ελεύθερη κι... άνετη απόδοση:

Έστω σημείο Α υπερβολής και τα σημεία Β, Γ των ασυμπτώτων της. Αν οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ διατηρούν σταθερή διεύθυνση, να αποδειχτεί ότι το γινόμενο των τμημάτων ΑΒ και ΑΓ είναι σταθερό.

apollonios.png (27.92 KiB) Προβλήθηκε 1009 φορές

Θεωρούμε την υπερβολή και έστω το κέντρο της. Από το σημείο φέρουμε τα παράλληλα τμήματα και προς τα τμήματα και αντίστοιχα, με τo σημείo να ανήκει στην υπερβολή και σε μια από τις ασυμπτώτους.

Έστω και οι προβολές του σημείου στις αυσμπτώτους και αντίστοιχα και οι προβολές του στις ασυμπτώτους. Από τα όμοια τρίγωνα που προκύπτουν έχουμε τις αναλογίες





Πολλλαπλασιάζοντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη έχουμε



Όμως ισχύει , εφαρμογή του σχολικού βιβλίου στο κεφάλαιο της υπερβολής. Οπότε έχουμε



Το γινόμενο όμως είναι σταθερό, αφού τα τμήματα και έχουν σταθερές σχετικά μεταξύ τους διευθύνσεις και το σημείο είναι σταθερό.

[min##]

Εναλλακτικά,με έναν κατάλληλο αφινικό μετασχηματισμό μπορούμε να ανάγουμε το θέμα στην περίπτωση ισοσκελούς Υπερβολής στο πρώτο-τρίτο τεταρτημόριο με .
Τότε είναι και το γινόμενο είναι σταθερό (,..

[S.E.Louridas]

Μιά που το είδαμε και μας άρεσε είπαμε να πούμε ένα γειά στον Άριστο Μαθηματικό και φίλο Κώστα, που δεν κρύβουμε ότι τον έχουμε επιθυμήσει.

Άρα:
Είναι γνωστή η ιδιότητα:
Το γινόμενο των αποστάσεων τυχόντος σημείου μίας υπερβολής από τις ασύμπτωτες της είναι σταθερό.
Λόγω των σταθερών διευθύνσεων τα ορθογώνια τρίγωνα σε τυχούσα θέση δημιουργούν δύο κλάσεις αντίστοιχα όμοιων τριγώνων, οπότε και το γινόμενο των υποτείνουσων τους είναι σταθερό ή και με τριγωνομετρία λόγω της σταθερότητας των γωνιών (άρα και των τριγωνομετρικών τους αριθμών), που αναφέρει ως δεδομένες ο Κώστας.

[rek2]

Ας δούμε τι λέει ο Απολλώνιος:

1.png (137.1 KiB) Προβλήθηκε 838 φορές

2.png (203.14 KiB) Προβλήθηκε 838 φορές

Στην πρόταση η΄ απέδειξε ότι . Αυτό για τυχούσα τέμνουσα ΑΗΔΓ.

Τώρα από τις παραλληλίες παίρνει, σαν να λέμε, τις αναλογίες



και αφού τα πρώτα μέλη είναι ίσα κ.λπ., τελειώνει την απόδειξη.

Λέγω, όμως, ότι στην ανάγνωση του αρχαίου κειμένου είναι η μαγεία! Άλλο να διαβάζεις Απολλώνιο και άλλο να διαβάζεις ... Ρεκούμη! Άλλο να πίνεις νερό από την πηγή και άλλο να πίνεις από το ... λάστιχο

Το άρωμα, η μουσική, η υφή, η απλότητα, η δύναμη του νου του κ.λπ., κ.λπ. δεν μεταφράζονται.

[rek2]

Μιά που το είδαμε και μας άρεσε είπαμε να πούμε ένα γειά στον φίλο Κώστα, που δεν κρύβουμε ότι τον έχουμε επιθυμήσει.

Σωτήρη, Γίγαντα, σε επιθυμήσαμε ομοίως!

Να είσαι πάντα καλά, γερός, δυνατός, να γράφεις να σε διαβάζουμε και να μαθαίνουμε από εσένα!!

[Al.Koutsouridis]

Λέγω, όμως, ότι στην ανάγνωση του αρχαίου κειμένου είναι η μαγεία!

Και αν επιτρέπεται να προσθέσω σε αυτό, τα λόγια του van der Waerden από το βιβλίο του Αφύπνιση της Επιστήμης, που δίνουν άλλη μια συναρπαστική παράμετρο διαβάζοντας τον Απολλώνιο: "Ο Απολλώνιος ως δεξιοτέχνης κατέχει την γεωμετρική άλγεβρα, αλλά με ακόμα περισσότερη δεξιοτεχνεία μπορεί να κρύβει την αρχική πορεία της σκέψης του. Για αυτό είναι δύσκολο να κατανοήσει κανείς το βιβλίο του, η συλλογιστική του είναι κομψή και πεντακάθαρα κατανοητή, αλλά τι ακριβώς τον οδήγησε σε αυτό το συλλογισμό και όχι σε κάποιο άλλο, μπορεί κάποιος παρά μόνο να μαντεύει."

[rek2]

Λέγω, όμως, ότι στην ανάγνωση του αρχαίου κειμένου είναι η μαγεία!

Και αν επιτρέπεται να προσθέσω σε αυτό, τα λόγια του van der Waerden από το βιβλίο του Αφύπνιση της Επιστήμης, που δίνουν άλλη μια συναρπαστική παράμετρο διαβάζοντας τον Απολλώνιο: "Ο Απολλώνιος ως δεξιοτέχνης κατέχει την γεωμετρική άλγεβρα, αλλά με ακόμα περισσότερη δεξιοτεχνεία μπορεί να κρύβει την αρχική πορεία της σκέψης του. Για αυτό είναι δύσκολο να κατανοήσει κανείς το βιβλίο του, η συλλογιστική του είναι κομψή και πεντακάθαρα κατανοητή,

αλλά τι ακριβώς τον οδήγησε σε αυτό το συλλογισμό και όχι σε κάποιο άλλο, μπορεί κάποιος παρά μόνο να μαντεύει."

Αλέξανδρε καλησπέρα! Εύχομαι τα καλύτερα για σένα! Καλές μεταφράσεις!

Κάπως έτσι ήταν η τέχνη στην Αρχαία Ελλάδα. Σαν να λέει: αυτό είναι το δημιούργημα, δες το, τέρψου, εμπνεύσου. Πως το έφτειαξα είναι άλλη ιστορία. Ακόμα και ο Πλάτωνας έκρυβε τα ίχνη του. Απέφευγε να παραβιάσει αρρήτων έπεων πύλας, με επίκληση στους μύθους του.

(Ας μη μιλήσουμε για Πυθαγόρα, που το … τερμάτισε!)