Μέγιστο εμβαδόν 15

KARKAR · #1

: Μέγιστο εμβαδόν.png (12.08 KiB) Προβλήθηκε 1190 φορές

Οι πλευρές AB , AC

τριγώνου

είναι σταθερού μήκους , ενώ η

μεταβλητού .

Ονομάζω S , T

τις προβολές του μέσου

της

στις πλευρές AB , AC

αντίστοιχα .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου ASMT

.

S.E.Louridas · #2

Διαισθητικά οδηγήθηκα στην επίλυση μέσω διαφορικού λογισμού, κόντρα στη νοοτροπία μου (καθαρά γεωμετρική) για επίλυση τέτοιων θεμάτων.

Στο σχήμα που ακολουθεί, και που πηγαίνει απόλυτα ισοδυνάμως το πρόβλημα μας αν θεωρήσουμε τα a,b

σταθερά κατά μέγεθος και το OA=a

το μόνο σταθερό κατά θέση, αρκεί να προσδιορίσουμε το μέγιστο εμβαδόν του τετράπλευρου OTMS.

Δουλεύοντας λοιπόν εδώ έχουμε: $\left( i \right)\,y = \sqrt {{b^2} - {{\left( {x - a} \right)}^2}} ,\;\left( {ii} \right)\,\frac{z}{a} = \frac{y}{d} \Leftrightarrow z = \frac{a}{b}\sqrt {{b^2} - {{\left( {x - a} \right)}^2}} ,$ $\left( {iii} \right)\frac{h}{a} = \frac{{x - a}}{b} \Leftrightarrow h = \frac{a}{b}\left( {x - a} \right),$
με τις $\left( {ii} \right),\;\left( {iii} \right)$ να ισχύουν από την άμεση ομοιότητα των ορθογώνιων τριγώνων $\vartriangle MAT,\;\vartriangle MSB.$
Έτσι παίρνουμε $2E = 2\left( {OTMS} \right) = xy + z\left( {b + h} \right)$ ή $2E\left( x \right) = x\sqrt {{b^2} - {{\left( {x - a} \right)}^2}} + a\sqrt {{b^2} - {{\left( {x - a} \right)}^2}} + \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\left( {x - a} \right)\sqrt {{b^2} - {{\left( {x - a} \right)}^2}}$ , ή
$2E\left( x \right) = \left( {x + a + \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\left( {x - a} \right)} \right)\sqrt {{b^2} - {{\left( {x - a} \right)}^2}}$ , ή
$2E\left( x \right) = \left( {kx + c} \right)\sqrt { - {x^2} + 2ax + \ell } ,\;\alpha \nu \,k = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{b^2}}},\,c = \frac{{a\left( {{b^2} - {a^2}} \right)}}{{{b^2}}},$ $\ell = {b^2} - {a^2}.$
Με παραγώγιση προκύπτει $\displaystyle{2{E{'}}\left( x \right) = k\sqrt { - {x^2} + 2ax + \ell } - \left( {kx + c} \right)\frac{{x - a}}{{\sqrt { - {x^2} + 2ax + \ell } }}}$ , ή $\displaystyle{2{E{'}}\left( x \right) = \frac{{ - 2k{x^2} + \left( {3ak - c} \right)x + k\ell + ac}}{{\sqrt { - {x^2} + 2ax + \ell } }}\,...}$

Παρατήρηση: Αν δίναμε έμφαση, μόνο στον τρόπο επίλυσης, τότε, θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε π.χ. $a = 1,\;b = 2,$ ή γιατί όχι και ρόμβο;

: figur.png (16.95 KiB) Προβλήθηκε 1028 φορές

KARKAR · #3

: Μέγιστο εμβαδόν.png (18.34 KiB) Προβλήθηκε 979 φορές

Με σκέψεις παρόμοιες με αυτές του Σωτήρη αλλά και κάποιες διαφορές : Έχουμε :

(ASMT)=(ANML)+(NSM)+(LTM)=

$2(\dfrac{1}{2}\dfrac{b}{2}\dfrac{c}{2}\sin\theta)+\dfrac{1}{2}\dfrac{b}{2}\cos\theta\dfrac{b}{2}\sin\theta+\dfrac{1}{2}\dfrac{c}{2}\cos\theta\dfrac{c}{2}\sin\theta=$

$=\dfrac{bc}{4}\sin\theta+\dfrac{b^2+c^2}{16}\sin{2\theta}$ . Με παράδειγμα : b=8 , c=6

, παίρνουμε :

$E(\theta)=12\sin\theta+\dfrac{25}{4}\sin{2\theta}$ , με μέγιστη τιμή : $E_{max}=15.8059$ για : $\theta=59.554^0$

Μέγιστο εμβαδόν 15

Μέγιστο εμβαδόν 15

Re: Μέγιστο εμβαδόν 15

Re: Μέγιστο εμβαδόν 15

Μέλη σε σύνδεση