Παραλληλία, μέσα και λόγοι

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1257
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Παραλληλία, μέσα και λόγοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Μαρ 16, 2020 6:18 pm

Χαιρετώ. Τελευταία σύνθεση.
Παραλληλία, μέσα και λόγοι.PNG
Παραλληλία, μέσα και λόγοι.PNG (12.09 KiB) Προβλήθηκε 704 φορές
Το τρίγωνο ABC με AB=4 και AC=6 είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .Θεωρούμε τα σημεία P \in AB , F \in AC

και τα μέσα M και N των BC,PF. Η χορδή AEI είναι παράλληλη της MN με E \in BC.

Αν είναι AE\cdot AI=24 και ισχύει \left ( EFA \right )=2\left ( EAP \right ) τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left (FAP  \right )}

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9208
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παραλληλία, μέσα και λόγοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 17, 2020 10:46 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Μαρ 16, 2020 6:18 pm
Χαιρετώ. Τελευταία σύνθεση.
Παραλληλία, μέσα και λόγοι.PNG
Το τρίγωνο ABC με AB=4 και AC=6 είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .Θεωρούμε τα σημεία P \in AB , F \in AC

και τα μέσα M και N των BC,PF. Η χορδή AEI είναι παράλληλη της MN με E \in BC.

Αν είναι AE\cdot AI=24 και ισχύει \left ( EFA \right )=2\left ( EAP \right ) τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left (FAP  \right )}

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλημέρα!
Παραλληλία, μέσα και λόγοι.png
Παραλληλία, μέσα και λόγοι.png (19.1 KiB) Προβλήθηκε 660 φορές
\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left (FAP  \right )}=3. Το πρώτο κλειδί είναι ότι AE διχοτόμος και το δεύτερο ότι P μέσο του AB.

Αργότερα η λύση, αν δεν απαντηθεί.

edit: Άρση απόκρυψης. Η λύση δίνεται παρακάτω.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τετ Μαρ 18, 2020 8:52 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9208
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παραλληλία, μέσα και λόγοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μαρ 18, 2020 8:48 am

\displaystyle  \bullet Ισχυρίζομαι ότι η AEI είναι διχοτόμος της B\widehat AC: Πράγματι αν είναι διχοτόμος τότε,

\displaystyle AE \cdot AI = AE(AE + EI) = A{E^2} + AE \cdot EI = bc - BE \cdot EC + BE \cdot EC = 24

Έστω τώρα μία άλλη χορδή AE'I' με την ίδια ιδιότητα. Τότε το EE'I'I είναι εγγράψιμο, οπότε:

\displaystyle A\widehat {I'}I = A\widehat EB \Leftrightarrow \dfrac{\overset \frown {AC}+\overset \frown {CI}}{2}=\dfrac{\overset \frown {AB}+\overset \frown {CI}}{2}, δηλαδή AB=AC που είναι άτοπο, άρα η AEI είναι διχοτόμος.
Παραλληλία, μέσα και λόγοι.Ι.png
Παραλληλία, μέσα και λόγοι.Ι.png (19.48 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές
\displaystyle  \bullet Ισχυρίζομαι ότι το P είναι μέσο του AB: Η MN τέμνει τις AB, AC στα K, L αντίστοιχα και είναι

\displaystyle \frac{{BA}}{{BK}} = \frac{{BE}}{{BM}} \Leftrightarrow \frac{4}{{BK}} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow BK = 5 \Rightarrow \boxed{AL=AK=1}

Εξάλλου, \displaystyle (EFA) = 2(AEP) \Leftrightarrow AE \cdot AF\sin \frac{A}{2} = 2AE \cdot AP\sin \frac{A}{2} \Leftrightarrow \boxed{AF=2AP}

Μενέλαος στο APF με διατέμνουσα \displaystyle \overline {KLN} : \displaystyle \frac{{PN}}{{NF}} \cdot \frac{{LF}}{{AL}} \cdot \frac{{KA}}{{KP}} = 1 \Leftrightarrow LF = KP \Leftrightarrow AF - 1 = AP + 1 \Leftrightarrow AP = 2=\dfrac{AB}{2} και AF=4.

Άρα, \displaystyle \frac{{(BAC)}}{{(FAP)}} = \frac{{bc}}{{AP \cdot AF}} = \frac{{24}}{8} \Leftrightarrow \boxed{\frac{(BAC)}{(FAP)}=3}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1880
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Παραλληλία, μέσα και λόγοι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Μαρ 18, 2020 1:13 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Μαρ 16, 2020 6:18 pm
Χαιρετώ. Τελευταία σύνθεση.
Παραλληλία, μέσα και λόγοι.PNG
Το τρίγωνο ABC με AB=4 και AC=6 είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .Θεωρούμε τα σημεία P \in AB , F \in AC

και τα μέσα M και N των BC,PF. Η χορδή AEI είναι παράλληλη της MN με E \in BC.

Αν είναι AE\cdot AI=24 και ισχύει \left ( EFA \right )=2\left ( EAP \right ) τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left (FAP  \right )}

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλημέρα ,

Θα προσπαθήσω να μεταφέρω τους λογους που δημιουργούνται απο τα σημεία P,N,F

Πάνω στη πλευρά BC, Οπότε κατασκευάζω PT//AI//FL//MN

Είναι TM=ML=d,BT=\dfrac{a}{2}-d,LC=\dfrac{a}{2}-d,



Aκόμη (EAF)=(EAL),(APE)=(ATE) και λογω της υποθεσης

(AEL)=2(ATE)\Rightarrow 

EL=2TE,TE=\dfrac{2d}{3},ME=\dfrac{d}{3},BE=\dfrac{a}{2}-\dfrac{d}{3}, CE=\dfrac{a}{2}+\dfrac{d}{3},

BT//AE\Rightarrow \dfrac{BP}{4}=\dfrac{BT}{BE}\Rightarrow BP=\dfrac{12(a-2d)}{3a-2d},

AP=4-BP=\dfrac{16d}{3a-2d},

 FL//AE\Rightarrow FC=\dfrac{18(a-2d)}{3a+2d},AF=\dfrac{48d}{3a+2d},

Συνεπώς

\dfrac{(ABC)}{FAP}=\dfrac{24}{AF.AP},(*),

AE.AI=24\Leftrightarrow AE^{2}+BE.EC=24,(1),

Απο το θεώρημα του

Stewart,ABE,BE.36+EC.16=a(AE^{2}+BE.CE),(2),

 (1),(2)\Rightarrow 

d=\dfrac{3a}{10},(3),

 (*)\Rightarrow \dfrac{(BAC)}{(FAP)}=\dfrac{9a^{2}-4d^{2}}{32d^{2}}

και λογω της (3),\dfrac{(BAC)}{(AFP)}=3
Συνημμένα
Παραλληλία μέσα και λόγοι.png
Παραλληλία μέσα και λόγοι.png (111.9 KiB) Προβλήθηκε 581 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7138
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παραλληλία, μέσα και λόγοι

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μαρ 18, 2020 10:42 pm

Ας ξεκινήσουμε με το επίταγμα :

AE \cdot AI = 24 \Leftrightarrow AE\left( {AE + EI} \right) = AB \cdot AC \Leftrightarrow A{E^2} = AB \cdot AC - AE \cdot AI και λόγω της

δύναμης του E η σχέση δίδει : A{E^2} = AB \cdot AC - EB \cdot EC που με άτοπο απαγωγή

είναι αναγκαστικά η AE διχοτόμος στο \vartriangle ABC.

Τώρα στο επίταγμα : MN//AE υποχρεούται το τετράπλευρο PBCF να έχει τις απέναντι πλευρές του \boxed{PB = FC = x}.

Έτσι όλοι οι κύκλοι : \left( {A,P,F} \right) θα διέρχονται από σταθερό σημείο D,

(σημείο Petersen, γεωμετρικές κατασκευές Αρίστου Δημητρίου θέμα 16)

Παραλληλία μέσα και λόγοι.png
Παραλληλία μέσα και λόγοι.png (25.57 KiB) Προβλήθηκε 539 φορές

Στην περίπτωση μας το D είναι ο βόρειος πόλος του κύκλου : \left( {A,B,C} \right).

Επειδή όμως ( τρίτο επίταγμα ) \left( {AFE} \right) = 2\left( {APE} \right) , αν T το σημείο τομής

AE\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,PF αναγκαστικά:

TF = 2TP \Leftrightarrow AF = 2AP \Leftrightarrow AC = 2AP \Leftrightarrow 6 - x = 2\left( {4 - x} \right) και άρα :

x = 2 \Rightarrow AP = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AF = 4 \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {ABC} \right)}}{{\left( {APF} \right)}} = \frac{{4 \cdot 6}}{{2 \cdot 4}} = 3}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1811
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Παραλληλία, μέσα και λόγοι

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Μαρ 20, 2020 1:33 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Μαρ 16, 2020 6:18 pm
Χαιρετώ. Τελευταία σύνθεση.
Παραλληλία, μέσα και λόγοι.PNG
Το τρίγωνο ABC με AB=4 και AC=6 είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .Θεωρούμε τα σημεία P \in AB , F \in AC

και τα μέσα M και N των BC,PF. Η χορδή AEI είναι παράλληλη της MN με E \in BC.

Αν είναι AE\cdot AI=24 και ισχύει \left ( EFA \right )=2\left ( EAP \right ) τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left (FAP  \right )}

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Προεκτείνουμε την  AB κατά BK=2 και ισχύει AE . AI=AB . AK=24 \Rightarrow BEIK εγγράψιμο άρα οι πράσινες γωνίες είναι ίσες

και συνεπώς AI διχοτόμος της KIC άρα AD=AZ , \angle A_{1}=  \angle A_{2}  κι από την ισότητα των  \triangle AKD,AZC \Rightarrow   \angle A_{3}= \angle  A_{4}

Επομένως \angle BAI= \angle CAI  και  \dfrac{BE}{EC}= \dfrac{2}{3}

Με BS,CT//NM η  NM είναι διάμεσος του τραπεζίου BSTC κι επειδή  PN=NF \Rightarrow SP=FT=m

Επιπλέον , (AEF)=2(APE) \Rightarrow FQ=2PQ και ισχύει  \dfrac{SQ}{QT} = \dfrac{BE}{EC}= \dfrac{2}{3}  \Rightarrow  \dfrac{m+PQ}{m+2PQ}= \dfrac{2}{3}  \Rightarrow m=PQ

Αλλά  \dfrac{m}{PQ}= \dfrac{BP}{PA} \Rightarrow BP=PA  και   \dfrac{AF}{FC}= \dfrac{QF}{m} = \dfrac{2PQ}{m} =2  \Rightarrow AF=4,FC=2

 \dfrac{(ABC)}{(APF)}= \dfrac{AB . AC}{AP . AF}= \dfrac{4 . 6}{2 . 4} =3
Παραλληλία μέσα και λόγοι.png
Παραλληλία μέσα και λόγοι.png (32.54 KiB) Προβλήθηκε 501 φορές


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1067
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Παραλληλία, μέσα και λόγοι

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Παρ Μαρ 20, 2020 12:31 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Μαρ 16, 2020 6:18 pm
Χαιρετώ. Τελευταία σύνθεση.
Παραλληλία, μέσα και λόγοι.PNG
Το τρίγωνο ABC με AB=4 και AC=6 είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .Θεωρούμε τα σημεία P \in AB , F \in AC

και τα μέσα M και N των BC,PF. Η χορδή AEI είναι παράλληλη της MN με E \in BC.

Αν είναι AE\cdot AI=24 και ισχύει \left ( EFA \right )=2\left ( EAP \right ) τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left (FAP  \right )}

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Mητσιος A.png
Mητσιος A.png (37.67 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές
Η σχέση AB \cdot AC=AE\cdot  AI=24 εξασφαλίζει ότι AE διχοτόμος του τριγώνου BAC πράγμα που θα το δείξω πιο κάτω **

\displaystyle \frac{(AFE)}{(APE) } =2 \rightarrow \frac{EA \cdot   AF}{EA \cdot   AP}=2 \rightarrow AF=2 AP=2AP’_1 συνεπώς P'_1 μέσο της AF  \,\,\,Επίσης

\displaystyle \frac{(AFE)}{(APE) } =2 \rightarrow KF=2PP'=PP'_1 και FK//PP'_1 και εξ αυτού αφενός P' μέσον του AK αφετέρου PKFP'_1 παραλληλόγραμμο. Άρα το N διχοτομεί την KP'_1
Από την αναλογία -λόγω Θαλή και θεωρήματος εσωτερικής διχοτόμου-\displaystyle \frac{BE}{EM}=\frac{BA}{AD} προκύπτει AD=1.

\triangle DAZ ισοσκελές ( \angle D =\angle BAE, \angle Z=\angle EAC \rightarrow \angle D=\angle Z) \rightarrow   AD=AZ=1

P'N //AP’_1 (Συνδέει τα μέσα των πλευρών του τριγ AKP’_1) συνεπώς AP’NZ παραλληλόγραμμο (απέναντι πλευρές παράλληλες) άρα

P’N=AZ=1 και 2 \cdot 1=2P’N =AP’_1=AP=2 και AF=2 AP=4

Είναι τώρα πια \displaystyle\frac{(ABC)}{(APF) } =\frac{AB \cdot   AC}{AP \cdot   AF}=\frac{4 \cdot 6}{2 \cdot 4}=\frac{24}{8}=3

---------------------------------------------------
Σχέση διχοτόμου εμβαδών 2.png
Σχέση διχοτόμου εμβαδών 2.png (31.85 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές
Πρόταση **

AE διχοτόμος της γωνίας A αν και μόνο αν AB \cdot AC=AE\cdot  AI.

Πράγματι αν AE διχοτόμος τότε (δες σχήμα) \triangle AEC \sim  \triangle ABI συνεπώς \frac{AE}{AB}=\frac{AC}{AI} \rightarrow AE \cdot AI=AB \cdot AC

Αντιστρόφως ας υποθέσουμε ότι υπάρχει χορδή AE’I’ έτσι ώστε AE \cdot EI= AE’ \cdot E’I’\, με \, I' \in \tau o \xi BI. Τότε το E’I’IE είναι εγγράψιμο και επομένως \angle AI’I=\angle E’EA \,\,.(1)

Όμως στο τρίγωνο BAC έχουμε εύκολα \angle AEB<\angle AEC δηλαδή  \angle AEB<90^0 (2) (αφού AB<AC και AE διχοτόμος της \angle A \,\,\,  ....)

Επίσης \angle AI’I = \angle AI'A'  +  \angle II'A' =90^0+\angle II'A' > 90^0 (3)

Οι (1) (2) (3) μας οδηγούν σε άτοπο.

Συνεπώς η μοναδική χορδή που ικανοποιεί την δοθείσα σχέση είναι χορδή ΑΕΙ που ορίζεται από την διχοτόμο της γωνίας A


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1257
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Παραλληλία, μέσα και λόγοι

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Απρ 03, 2020 7:14 pm

Καλησπέρα.
Γιώργο,Γιάννη, Νίκο , Μιχάλη και Παναγιώτη
σας ευχαριστώ για τις, καίριες από την πλευρά σας, επεμβάσεις-λύσεις!
Θα αναφερθώ μόνο σε δύο σημεία:
Ι) Ας δείξουμε το δεύτερο επίταγμα που γράφει ο Νίκος, ότι (αριστερά στο σχήμα) είναι BP=CF.

Θεωρώντας επιπλέον το μέσον K της BF έχουμε BP \parallel =2KN και CF \parallel  =2KM.

Από τη διχοτόμο AE και τις παραλληλίες προκύπτουν ίσες γωνίες \theta οπότε KN=KM άρα και BP=CF.
Παραλληλία, μέσα και λόγοι ΙΙ.PNG
Παραλληλία, μέσα και λόγοι ΙΙ.PNG (18.36 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές
ΙΙ)Με αφετηρία την θαυμάσια ευθεία απόδειξη του Μιχάλη, ότι η AI είναι διχοτόμος
ας δώσω με ελαφρά παραλλαγή μια γενίκευση αυτής (δεξιά στο σχήμα)

Έστω AB<AC και \widehat{B}=\omega <90^\circ.Στην προέκταση της AB παίρνουμε AK=AC. Τότε AE \cdot AI=AB \cdot  AC=AB \cdot  AK συνεπώς το BEIK είναι εγγράψιμο άρα \widehat{AIK}= \widehat{ABC}= \widehat{AIC}=\omega.

Η IK τέμνει τον κύκλο στο T. Είναι AT=AC (δέχονται οξείες και ίσες εγγεγραμμένες γωνίες)

Έτσι η \widehat{ATI} είναι παραπληρωματική της \widehat{AKI} αλλά και της \widehat{ACI} από το εγγράψιμο ATIC.

Τα τρίγωνα λοιπόν KIA και CIA έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες, δηλ η AEI είναι πράγματι διχοτόμος.

Ανάλογη είναι η απόδειξη και για \widehat{B} \geq 90^\circ... Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες