Παραλληλία, μέσα και λόγοι
Συντονιστής: gbaloglou
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Παραλληλία, μέσα και λόγοι
Χαιρετώ. Τελευταία σύνθεση.
και τα μέσα και των . Η χορδή είναι παράλληλη της με .
Αν είναι και ισχύει τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Το τρίγωνο με και είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .Θεωρούμε τα σημεία , και τα μέσα και των . Η χορδή είναι παράλληλη της με .
Αν είναι και ισχύει τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παραλληλία, μέσα και λόγοι
Καλημέρα! Το πρώτο κλειδί είναι ότι διχοτόμος και το δεύτερο ότι μέσο του .Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Δευ Μαρ 16, 2020 6:18 pmΧαιρετώ. Τελευταία σύνθεση.
Παραλληλία, μέσα και λόγοι.PNG
Το τρίγωνο με και είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .Θεωρούμε τα σημεία ,
και τα μέσα και των . Η χορδή είναι παράλληλη της με .
Αν είναι και ισχύει τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Αργότερα η λύση, αν δεν απαντηθεί.
edit: Άρση απόκρυψης. Η λύση δίνεται παρακάτω.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τετ Μαρ 18, 2020 8:52 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παραλληλία, μέσα και λόγοι
Ισχυρίζομαι ότι η είναι διχοτόμος της Πράγματι αν είναι διχοτόμος τότε,
Έστω τώρα μία άλλη χορδή με την ίδια ιδιότητα. Τότε το είναι εγγράψιμο, οπότε:
δηλαδή που είναι άτοπο, άρα η είναι διχοτόμος. Ισχυρίζομαι ότι το είναι μέσο του Η τέμνει τις στα αντίστοιχα και είναι
Εξάλλου,
Μενέλαος στο με διατέμνουσα και
Άρα,
Έστω τώρα μία άλλη χορδή με την ίδια ιδιότητα. Τότε το είναι εγγράψιμο, οπότε:
δηλαδή που είναι άτοπο, άρα η είναι διχοτόμος. Ισχυρίζομαι ότι το είναι μέσο του Η τέμνει τις στα αντίστοιχα και είναι
Εξάλλου,
Μενέλαος στο με διατέμνουσα και
Άρα,
Re: Παραλληλία, μέσα και λόγοι
Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Δευ Μαρ 16, 2020 6:18 pmΧαιρετώ. Τελευταία σύνθεση.
Παραλληλία, μέσα και λόγοι.PNG
Το τρίγωνο με και είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .Θεωρούμε τα σημεία ,
και τα μέσα και των . Η χορδή είναι παράλληλη της με .
Αν είναι και ισχύει τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλημέρα ,
Θα προσπαθήσω να μεταφέρω τους λογους που δημιουργούνται απο τα σημεία
Πάνω στη πλευρά , Οπότε κατασκευάζω
Είναι
Aκόμη και λογω της υποθεσης
Συνεπώς
Απο το θεώρημα του
και λογω της
- Συνημμένα
-
- Παραλληλία μέσα και λόγοι.png (111.9 KiB) Προβλήθηκε 1330 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Re: Παραλληλία, μέσα και λόγοι
Ας ξεκινήσουμε με το επίταγμα :
και λόγω της
δύναμης του η σχέση δίδει : που με άτοπο απαγωγή
είναι αναγκαστικά η διχοτόμος στο .
Τώρα στο επίταγμα : υποχρεούται το τετράπλευρο να έχει τις απέναντι πλευρές του .
Έτσι όλοι οι κύκλοι : θα διέρχονται από σταθερό σημείο ,
(σημείο , γεωμετρικές κατασκευές Αρίστου Δημητρίου θέμα 16)
Στην περίπτωση μας το είναι ο βόρειος πόλος του κύκλου : .
Επειδή όμως ( τρίτο επίταγμα ) , αν το σημείο τομής
αναγκαστικά:
και άρα :
και λόγω της
δύναμης του η σχέση δίδει : που με άτοπο απαγωγή
είναι αναγκαστικά η διχοτόμος στο .
Τώρα στο επίταγμα : υποχρεούται το τετράπλευρο να έχει τις απέναντι πλευρές του .
Έτσι όλοι οι κύκλοι : θα διέρχονται από σταθερό σημείο ,
(σημείο , γεωμετρικές κατασκευές Αρίστου Δημητρίου θέμα 16)
Στην περίπτωση μας το είναι ο βόρειος πόλος του κύκλου : .
Επειδή όμως ( τρίτο επίταγμα ) , αν το σημείο τομής
αναγκαστικά:
και άρα :
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Παραλληλία, μέσα και λόγοι
Προεκτείνουμε την κατά και ισχύει εγγράψιμο άρα οι πράσινες γωνίες είναι ίσεςΓιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Δευ Μαρ 16, 2020 6:18 pmΧαιρετώ. Τελευταία σύνθεση.
Παραλληλία, μέσα και λόγοι.PNG
Το τρίγωνο με και είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .Θεωρούμε τα σημεία ,
και τα μέσα και των . Η χορδή είναι παράλληλη της με .
Αν είναι και ισχύει τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
και συνεπώς διχοτόμος της άρα , κι από την ισότητα των
Επομένως και
Με η είναι διάμεσος του τραπεζίου κι επειδή
Επιπλέον , και ισχύει
Αλλά και
Re: Παραλληλία, μέσα και λόγοι
Η σχέση εξασφαλίζει ότι διχοτόμος του τριγώνου πράγμα που θα το δείξω πιο κάτω **Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Δευ Μαρ 16, 2020 6:18 pmΧαιρετώ. Τελευταία σύνθεση.
Παραλληλία, μέσα και λόγοι.PNG
Το τρίγωνο με και είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .Θεωρούμε τα σημεία ,
και τα μέσα και των . Η χορδή είναι παράλληλη της με .
Αν είναι και ισχύει τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
συνεπώς μέσο της Επίσης
και και εξ αυτού αφενός μέσον του αφετέρου παραλληλόγραμμο. Άρα το διχοτομεί την
Από την αναλογία -λόγω Θαλή και θεωρήματος εσωτερικής διχοτόμου- προκύπτει .
ισοσκελές
(Συνδέει τα μέσα των πλευρών του τριγ ) συνεπώς παραλληλόγραμμο (απέναντι πλευρές παράλληλες) άρα
και και
Είναι τώρα πια
---------------------------------------------------
Πρόταση **
διχοτόμος της γωνίας αν και μόνο αν
Πράγματι αν διχοτόμος τότε (δες σχήμα) συνεπώς
Αντιστρόφως ας υποθέσουμε ότι υπάρχει χορδή έτσι ώστε με . Τότε το είναι εγγράψιμο και επομένως .(1)
Όμως στο τρίγωνο έχουμε εύκολα δηλαδή (2) (αφού και διχοτόμος της )
Επίσης (3)
Οι (1) (2) (3) μας οδηγούν σε άτοπο.
Συνεπώς η μοναδική χορδή που ικανοποιεί την δοθείσα σχέση είναι χορδή που ορίζεται από την διχοτόμο της γωνίας
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Παραλληλία, μέσα και λόγοι
Καλησπέρα.
Γιώργο,Γιάννη, Νίκο , Μιχάλη και Παναγιώτη σας ευχαριστώ για τις, καίριες από την πλευρά σας, επεμβάσεις-λύσεις!
Θα αναφερθώ μόνο σε δύο σημεία:
Ι) Ας δείξουμε το δεύτερο επίταγμα που γράφει ο Νίκος, ότι (αριστερά στο σχήμα) είναι .
Θεωρώντας επιπλέον το μέσον της έχουμε και .
Από τη διχοτόμο και τις παραλληλίες προκύπτουν ίσες γωνίες οπότε άρα και . ΙΙ)Με αφετηρία την θαυμάσια ευθεία απόδειξη του Μιχάλη, ότι η είναι διχοτόμος
ας δώσω με ελαφρά παραλλαγή μια γενίκευση αυτής (δεξιά στο σχήμα)
Έστω και .Στην προέκταση της παίρνουμε . Τότε συνεπώς το είναι εγγράψιμο άρα .
Η τέμνει τον κύκλο στο . Είναι (δέχονται οξείες και ίσες εγγεγραμμένες γωνίες)
Έτσι η είναι παραπληρωματική της αλλά και της από το εγγράψιμο .
Τα τρίγωνα λοιπόν και έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες, δηλ η είναι πράγματι διχοτόμος.
Ανάλογη είναι η απόδειξη και για ... Φιλικά, Γιώργος.
Γιώργο,Γιάννη, Νίκο , Μιχάλη και Παναγιώτη σας ευχαριστώ για τις, καίριες από την πλευρά σας, επεμβάσεις-λύσεις!
Θα αναφερθώ μόνο σε δύο σημεία:
Ι) Ας δείξουμε το δεύτερο επίταγμα που γράφει ο Νίκος, ότι (αριστερά στο σχήμα) είναι .
Θεωρώντας επιπλέον το μέσον της έχουμε και .
Από τη διχοτόμο και τις παραλληλίες προκύπτουν ίσες γωνίες οπότε άρα και . ΙΙ)Με αφετηρία την θαυμάσια ευθεία απόδειξη του Μιχάλη, ότι η είναι διχοτόμος
ας δώσω με ελαφρά παραλλαγή μια γενίκευση αυτής (δεξιά στο σχήμα)
Έστω και .Στην προέκταση της παίρνουμε . Τότε συνεπώς το είναι εγγράψιμο άρα .
Η τέμνει τον κύκλο στο . Είναι (δέχονται οξείες και ίσες εγγεγραμμένες γωνίες)
Έτσι η είναι παραπληρωματική της αλλά και της από το εγγράψιμο .
Τα τρίγωνα λοιπόν και έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες, δηλ η είναι πράγματι διχοτόμος.
Ανάλογη είναι η απόδειξη και για ... Φιλικά, Γιώργος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες