Ακόμα ένας γ. τόπος

Συντονιστής: gbaloglou

KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1969
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Ακόμα ένας γ. τόπος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Παρ Σεπ 11, 2020 5:48 pm

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου \displaystyle{AB=4} και σημείο \displaystyle{M} το οποίο κινείται πάνω σ' αυτό.

Θεωρούμε το τρίγωνο \displaystyle{AMN} τέτοιο ώστε:

\displaystyle{(AM)(AN)=18} και \displaystyle{\widehat{MAN}=30^o}.

Να βρεθεί ο γ. τόπος του σημείου \displaystyle{N}.
Ακόμα ένας Γεωμετρικός τόπος.png
Ακόμα ένας Γεωμετρικός τόπος.png (12.53 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9670
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ακόμα ένας γ. τόπος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Σεπ 11, 2020 6:31 pm

KDORTSI έγραψε:
Παρ Σεπ 11, 2020 5:48 pm
Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου \displaystyle{AB=4} και σημείο \displaystyle{M} το οποίο κινείται πάνω σ' αυτό.

Θεωρούμε το τρίγωνο \displaystyle{AMN} τέτοιο ώστε:

\displaystyle{(AM)(AN)=18} και \displaystyle{\widehat{MAN}=30^o}.

Να βρεθεί ο γ. τόπος του σημείου \displaystyle{N}.

Ακόμα ένας Γεωμετρικός τόπος.png
Καλησπέρα Κώστα!
Ακόμα ένας Γ.Τ.png
Ακόμα ένας Γ.Τ.png (8.25 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές
Εικάζω ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ημιευθεία Tx όπου AT=\dfrac{9}{2} και B\widehat AT=30^\circ.
Δεν το έχω τεκμηριώσει όμως ακόμα.

Edit: Άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Σάβ Σεπ 12, 2020 9:49 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3224
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ακόμα ένας γ. τόπος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Σεπ 11, 2020 7:27 pm

KDORTSI έγραψε:
Παρ Σεπ 11, 2020 5:48 pm
Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου \displaystyle{AB=4} και σημείο \displaystyle{M} το οποίο κινείται πάνω σ' αυτό.

Θεωρούμε το τρίγωνο \displaystyle{AMN} τέτοιο ώστε:

\displaystyle{(AM)(AN)=18} και \displaystyle{\widehat{MAN}=30^o}.

Να βρεθεί ο γ. τόπος του σημείου \displaystyle{N}.

Ακόμα ένας Γεωμετρικός τόπος.png
Στην προέκταση της MAπαίρνουμε M' ώστε AM'=AN.Από αντιστροφή το M' βόσκει πάνω σε μια ευθεία.Ετσι το N βόσκει πάνω στην ευθεία που είναι η στροφή της προηγούμενης κατά 150 μοίρες με κέντρο το A.Το μόνο που απομένει είναι να καθορισθούν τα ακραία σημεία του τόπου.

Εγινε άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Κυρ Σεπ 13, 2020 3:58 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5504
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ακόμα ένας γ. τόπος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Σεπ 11, 2020 7:43 pm

KDORTSI έγραψε:
Παρ Σεπ 11, 2020 5:48 pm
Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου \displaystyle{AB=4} και σημείο \displaystyle{M} το οποίο κινείται πάνω σ' αυτό.
Θεωρούμε το τρίγωνο \displaystyle{AMN} τέτοιο ώστε:
\displaystyle{(AM)(AN)=18} και \displaystyle{\widehat{MAN}=30^o}.
Να βρεθεί ο γ. τόπος του σημείου \displaystyle{N}.

Ακόμα ένας Γεωμετρικός τόπος.png
Εν τάχει έχουμε:

Αν T η προβολή του N στην AM και F η προβολή του T στην AB, τότε, \displaystyle{AF \cdot 2R = AT \cdot AN = \frac{{\sqrt 3 }}{2}AN \cdot AM,\;\,ct. ,}
οπότε το σημείο F είναι σταθερό, άρα και η κάθετη ευθεία FT, στην AB είναι σταθερή …..


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4683
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ακόμα ένας γ. τόπος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Σεπ 12, 2020 9:17 am

Καλημέρα σε όλους. Θα προσπαθήσω να ενισχύσω την αρχική εκτίμηση του Γιώργου, με εργαλεία της Αναλυτικής Γεωμετρίας.

11-09-2020 Γεωμετρία.png
11-09-2020 Γεωμετρία.png (60.76 KiB) Προβλήθηκε 198 φορές

Άπό το N φέρνουμε NK κάθετη στην ευθεία που ορίζουν τα A, M.

Τότε  \displaystyle AK = \frac{{\sqrt 3 }}{2}AN , οπότε  \displaystyle AM \cdot AN = 18 \Leftrightarrow AM \cdot AK = 9\sqrt 3 .

Έστω  \displaystyle M\left( {a,b} \right),\;\; - 2 \le a \le 2,\;\;0 \le b \le 2 με  \displaystyle {a^2} + {b^2} = 4 ,

οπότε  \displaystyle AM = \sqrt {{{\left( {a + 2} \right)}^2} + {b^2}}  = 2\sqrt {a + 2} , άρα  \displaystyle AK = \frac{{9\sqrt 3 }}{{2\sqrt {a + 2} }}

Το K κινείται στην ημιευθεία  \displaystyle y = \frac{b}{{a + 2}}\left( {x + 2} \right),\;\;a \in \left( { - 2,\;2} \right] ,
οπότε, αν t η τετμημένη του, θα είναι  \displaystyle K\left( {t,\;\frac{{b\left( {t + 2} \right)}}{{a + 2}}} \right)

 \displaystyle AK = \frac{{9\sqrt 3 }}{{2\sqrt {a + 2} }} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {t + 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{b}{{a + 2}}} \right)}^2}{{\left( {t + 2} \right)}^2}}  = \frac{{9\sqrt 3 }}{{2\sqrt {a + 2} }}

 \displaystyle  \Leftrightarrow \left( {t + 2} \right)\sqrt {1 + \frac{{4 - {a^2}}}{{{{\left( {a + 2} \right)}^2}}}}  = \frac{{9\sqrt 3 }}{{2\sqrt {a + 2} }}

 \displaystyle  \Leftrightarrow \left( {t + 2} \right)\frac{{2\sqrt {2 + a} }}{{a + 2}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{{2\sqrt {a + 2} }}

 \displaystyle  \Leftrightarrow t = \frac{{9\sqrt 3  - 8}}{4} , σταθερό, άρα το K κινείται σε ημιευθεία κάθετη στον οριζόντιο άξονα στο t, στο θετικό ημιεπίπεδο.

Όταν το K βρεθεί στη θέση K_1(t, 0), τότε  \displaystyle \frac{{A{K_1}}}{{A{N_1}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow A{N_1} = \frac{9}{2} , άρα  \displaystyle {N_1}\left( {t,\;\frac{9}{2}} \right) .

Από το N_1 φέρνουμε κάθετη στην AN, που τέμνει την AK στο L.

Τότε  \displaystyle \widehat {K{N_1}L} = \widehat {MA{N_1}} = 30^\circ , αφού έχουν πλευρές κάθετες.


Το N κινείται στην ημιευθεία Nx που είναι κάθετη στην AN στο N_1 και τέμνει τον θετικό κατακόρυφο ημιάξονα.

Προφανώς το "Θεώρημα της Προφάνειας" δεν είναι αρκετό. :D Αναρτώ ημιτελή τη λύση, ως εφαλτήριο για όποιον θα ήθελε να συνεχίσει από το συμπέρασμα στο οποίο έχω σταματήσει. Αν δεν δοθεί σύντομα πλήρης αιτιολόγηση θα προσπαθήσω να επανέλθω το ταχύτερο!
Συνημμένα
11-09-2020 Γεωμετρία.ggb
(25.32 KiB) Μεταφορτώθηκε 5 φορές


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1969
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Ακόμα ένας γ. τόπος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Σάβ Σεπ 19, 2020 12:00 am

KDORTSI έγραψε:
Παρ Σεπ 11, 2020 5:48 pm
Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου \displaystyle{AB=4} και σημείο \displaystyle{M} το οποίο κινείται πάνω σ' αυτό.

Θεωρούμε το τρίγωνο \displaystyle{AMN} τέτοιο ώστε:

\displaystyle{(AM)(AN)=18} και \displaystyle{\widehat{MAN}=30^o}.

Να βρεθεί ο γ. τόπος του σημείου \displaystyle{N}.

Γιώργο, Σταύρο, Σωτήρη και Γιώργο, καλησπέρα σας από τα Γρεβενά...

Κάπως έτσι σκέφτηκα κι εγώ...Να βάλω στο παιχνίδι μια αντιστροφή και μια στροφή.

Μάλιστα με απλούς αριθμούς που να μας επιτρέπουν να κάνουμε και γεωμετρική κατασκευή.

Επειδή εξακολουθώ να παίζω με τα σχήματα, τους μετασχηματισμούς αυτούς τους βρίσκω

όμορφους, ιδιαίτερα την αντιστροφή. Τώρα μάλιστα με τα λογισμικά που μας επιτρέπουν

να ξεπεράσουμε προβλήματα της παλιάς εποχής.


Σχήμα πρώτο:
Ασκηση αντιστροφής α1.png
Ασκηση αντιστροφής α1.png (26.41 KiB) Προβλήθηκε 78 φορές

Στο σχήμα αυτό βλέπουμε το ημικύκλιο, ένα τυχαίο σημείο \displaystyle{M} πάνω σ' αυτό και τον κύκλο αντιστροφής
με κέντρο το σημείο \displaystyle{A} και ακτίνα ίση με \displaystyle{r=\sqrt{18}}.
Επειδή το ημικύκλιο διέρχεται από το κέντρο του κύκλου αντιστροφής η εικόνα του θα είναι η ημιευθεία \displaystyle{(B_1e)}
κάθετη στη διάκεντρο \displaystyle{AO}, πάνω στην οποία θα ανήκει και η εικόνα \displaystyle{M_1} του σημείου \displaystyle{M} μέσω της
αντιστροφής αυτής. (Το σημείο \displaystyle{B_1} είναι προφανώς η εικόνα του σημείου \displaystyle{B})

Σχήμα δεύτερο:
Ασκηση αντιστροφής α2.png
Ασκηση αντιστροφής α2.png (33.25 KiB) Προβλήθηκε 78 φορές
Στο σχήμα αυτό βλέπουμε την στροφή που έγινε στην εικόνα \displaystyle{M_1} με κέντρο το σημείο \displaystyle{A} κατά γωνία ίση με \displaystyle{30^o}.

Αφού λοιπόν το σημείο \displaystyle{M} ανήκει στο ημικύκλιο και η εικόνα του μέσα από τη σύνθεση της αντιστροφής και της στροφής
έδωσε το σημείο \displaystyle{N}, άρα η εικόνα αυτή θα ανήκει στην εικόνα του ημικυκλίου μέσω της ανωτέρω σύνθεσης, δηλαδή
στην ημιευθεία που είναι η στροφή της \displaystyle{M_1e} γύρω από το σημείο \displaystyle{A} κατά γωνία ίση με \displaystyle{30^o}.
Άρα ο ζητούμενος γ. τόπος είναι η ημιευθεία αυτή. (Το αντίστροφο είναι είναι απλό).

Παρατήρηση:
Στα ανωτέρω σχήματα δίνω πληροφορίες δυναμικές που ενεργοποιούνται στο αρχείο που παραθέτω με σχετικές οδηγίες χρήσης.

Άσκηση αντιστροφής α.ggb
(19.89 KiB) Μεταφορτώθηκε 5 φορές
Κώστας Δόρτσιος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες